Bewegungen im Federpotenzial

team-welle · Anmeldungsdatum: 22.02.2025 Beiträge: 12

Meine Frage:
Formale Lösung des 1-D Energiesatzes; Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr; Bewegungen im Federpotenzial

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe in einem Buch (s.o.) von Markus Otto. Ich habe Probleme eine Umformung zu verstehen (siehe Bild1).

Meine Ideen:
Nachdem wir den 1-D Energiesatz gelöst haben geht es nun darum eine Bewegung im Federpotential einzusetzen (siehe Bild2).
Im letzten Schritt erfolgt eine Umformung (Äquivalenzzeichen) wobei die Funktion umgekehrt wird von t(x) zu x(t).
Meine konkrete Frage lautet: (siehe Bild3)
Wie kommt das x(t) und das a aus dem Sinus raus (orange markiert) ?
Wie kommt der Term mit dem (kappa/m) in den Sinus rein (grün markiert) ?
Welche Rechenoperation wird benutzt?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Willkommen in diesem Forum!

Es wird auf beide Seiten der Gleichung die Sinusfunktion angewandt. Da arcsin die Umkehrfunktion der sin-Funktion ist, bleibt rechts x/a übrig:

Eigentlich muss man dabei noch etwas achtgeben auf die Definitionsbereiche. Die Herleitung von

gilt nur für eine einzelne Bewegung zwischen x=0 und x=a bzw. zwischen t=0 und t=T/4, also eine Viertelperiode.

Die Gleichung

gilt dann allgemein für beliebige t.

team-welle · Anmeldungsdatum: 22.02.2025 Beiträge: 12

Oh mein Gott. Da hätte ich drauf kommen müssen. Vielen Dank.
Ist das so richtig (siehe Bild4) ?

Danke und schönes Wochenende!

ps: eine Klammer ist unvollständig.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ja, das ist richtig. Wobei - nur, damit es kein Missverständnis gibt - in der 3. Zeile wird nicht mit einem Sinus multipliziert, sondern der Sinus angewendet auf den ganzen Ausdruck links bzw. rechts vom Gleichheitszeichen. Aber das war sicher auch so gemeint.

Und ebenfalls noch ein schönes restliches Wochenende!

team-welle · Anmeldungsdatum: 22.02.2025 Beiträge: 12

Danke. Wie schreibt man das denn, dass der Sinus angewendet wird?

Edit: Ich hätte eine weitere Frage zu der Richtigkeit der Operationen der selben Gleichung.

In der vierten Zeile steht ein 1/a ( lila markiert ) vor dem Integral und ich weiss nicht wie es dahin kommen konnte.

Ausschliessen kann ich den Verschiebetrick und die Reskalierung aber auch die Konstantenregel kann es nicht sein ...

Edit:

Im zweiten Schritt ist es auch nicht die Konstantenregel sondern vielmehr die Linearität des Integrals ( grün markiert ).
Wie man sieht habe ich noch Schwierigkeiten das zu bennenen, was ich bei einer Operation mache.

Edit:

Könnte mir jemand verraten, wie man ein Bild einfügt ohne, dass es jemand dann erst downloaden muss? Ganz oben auf dieser Seite habe ich es hinbekommen. Ich weiss nicht wie ich es dort gemacht habe. An der Datei PNG / JPG kann es nicht liegen.

Edit: Bild7

Hier einmal was ich mit Linearität des Integrals, Verschiebetrick und Reskalierung meine.

team-welle · Anmeldungsdatum: 22.02.2025 Beiträge: 12

Vielleicht weiss noch jemand anderes Bescheid wie das a aus dem Integral rauskommt?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Bitte entschuldige, dass ich auf die vorletzte Frage gar nicht geantwortet habe. Zur "Anwendung" des Sinus als Bemerkung rechts von der Gleichung: da gibt es wohl keine Konvention, ich würde an der Stelle einfach das Produktzeichen weglassen.

Zum Faktor 1/a: Man kann als ersten Schritt die Wurzel im Integral etwas umformen

und den konstanten Faktor 1/a anschliessend vor das Integral ziehen. An der Integrationsvariable wurde nichts geändert.

team-welle · Anmeldungsdatum: 22.02.2025 Beiträge: 12

Vielen lieben Dank!

Viel zu lernen ich noch habe Augenzwinkern