Festkörperphysik: Anzahl der Zustände in den Bändern

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PhysikStudentGast
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PhysikStudentGast Verfasst am: 07. Feb 2025 15:38 Titel: Festkörperphysik: Anzahl der Zustände in den Bändern

Ich möchte mal etwas aus unserem Skript zitieren, dass mir Kopfzerbrechen bereitet:

Zitat:

Im Folgenden diskutieren wir, unter welchen Umständen sich Metalle, Halbleiter oder Isolatoren bilden:

1. Ungerade Anzahl von Elektronen. Bei Elementen wie Na oder Al, deren Kristallstruktur durch ein bcc- bzw. fcc-Gitter mit einer einatomigen Basis beschrieben werden kann, haben wir ein bzw. drei Valenzelektronen pro Elementarzelle. Da jede Elementarzelle nach Gl. 5-44 zwei Zustände zu jedem Band beiträgt, ist bei Na ein Band halb gefüllt, während bei Al insgesamt eineinhalb Bänder gefüllt sind (Abb. 5-20). Also sind beide Materialien Metalle. Die insgesamt nur teilweise besetzten Bänder werden in der Regel zusammengefasst als Leitungsband bezeichnet. Folglich sind Materialien mit einer ungeraden Anzahl von Valenzelektronen pro Elementarzelle immer Metalle.

Also: Natrium kristallisiert in bcc (kubisch raumzentriert). Man hat also 8 Atome an den Ecken, die zu 1/8 in der Einheitszelle drin stecken (1/8 mal 8 = 1) und ein Atom im Zentrum. Macht also 2 Atome pro Elementarzelle. 2 Na-Atome mit jeweils einem Valenzelektron macht 2 Valenzelektronen und nicht eins pro Einheitszelle. grübelnd

Weiterhin verstehe ich folgende Gleichung nicht für die Anzahl der Zustände in einem Band:

Wobei

die Anzahl der Elementarzellen im Kristall sein soll.

Das N kann aber nicht die Anzahl der Elementarzellen sein, sondern müsste die Zahl der Atome pro Einheitszelle sein.

Meine Rechnung geht wie folgt:

Na hat 2 Atome und somit 2 Valenzelektronen pro EZ. 2 mal 2 ist 4, also 4 Zustände pro Band. Damit habe ich ein halb gefülltest Valenzband, die Fermienergie liegt entsprechend genau bei Höhe der Hälfte des Valenzbandes. Dadrüber eine "Lücke" (Metalle haben keine wirkliche Lücke, das ist nur schematisch, beide Bänder überlappen) und ein komplett leeres Leitungsband. Also bei 0 K natürlich. So sieht die Zeichnung im Skript auch aus, nur der Text passt nicht so recht dazu.

Kann mir jemand etwas dazu sagen?

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