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Thorben
Anmeldungsdatum: 03.06.2024
Beiträge: 15
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 Thorben Verfasst am: 27. Jun 2024 18:19 Titel: Ideale Kurve |
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Eine Kegelkugel mit einem Durchmesser von 16cm und einem Gewicht von 2.850 Gramm fällt vom Burj Khalifa (828m).
Nach dem Energieerhaltungssatz ist
Epot = m * g * h = Ekin = 1/2m * v^2
Nach Umstellung der Formel ergibt sich
Wurzel aus(2*9,81m/s^2*828m) = 127,5 m/s = 458,8 km/h
Der Aufprall wird eindeutig heftig. Masse und Durchmesser spielen hier ja keine Rolle, aber wenn der Aufprall gar nicht stattfinden soll, sondern die Kugel mit so wenig Verlusten wie möglich in die Gegenrichtung umgelenkt wird.
1. Gibt es eine ideale 180° Kurve in Abhängigkeit zum Durchmesser der Kugel?
2. Irgendwann muss die Kugel Kontakt zur umlenkenden Konstruktion bekommen. Wie kann die Führung mit tunlichst geringsten Reibungsverlusten stattfinden?
Danke für die Erleuchtung Torben
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
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| Mathefix Verfasst am: 28. Jun 2024 12:32 Titel: |
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Die Aufgabenstellung ist sehr kompliziert.
Es wird nicht nur Reibarbeit aufgebracht, sondern auch Translationsenergie und durch die Reibkraft Rotationsenergie. Wenn Anfangspunkt und Endpunkt der Bahn nicht auf gleicher Höhe liegen, ist die Differenz der potentiellen Energie zu berücksichtigen.
Gesucht ist die Funktion der Bahnkurve, bei der die Summe dieser Energien minimal ist. Ein Fall für die Variationsrechnung.
Möglicherweise existiert keine analytische Lösung.
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Thorben
Anmeldungsdatum: 03.06.2024
Beiträge: 15
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| Thorben Verfasst am: 28. Jun 2024 14:38 Titel: |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann werde ich im Matheboard meine Frage einstellen.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 28. Jun 2024 16:05 Titel: |
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| Thorben hat Folgendes geschrieben: | | Vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann werde ich im Matheboard meine Frage einstellen. |
Die "Rohgleichung" lautet:
I = Massenträgheitsmoment Kugel
m = Masse Kugel
r = Radius Kugel
rho = Radius Krümmungskreis Bahnkurve
omega = Winkelgeschwindigkeit
mü = Reibungskoeffizient
phi = Steigungswinkel Bahnkurve, Drehwinkel rho
 \cdot \omega \ \cdot \dd \omega + \int_a^b (m\cdot \varrho \cdot \omega ^{2}+m\cdot g\cdot \cos(\varphi ) \cdot \mu \cdot \varrho \cdot \dd \varphi )
 = \dot{\varphi } )
)
1. Term: Bewegungsenergie
2. Term Reibarbeit
Randbedingungen:
a)Anfangs- und Endpunkt der Bahnkurve liegen auf gleicher gegebener Höhe
b)Horizontaler Abstand Anfangs- und Endpunkt ist gegeben
c) An Anfangs- und Endpunkt senkrechter Eintritt bzw. Austritt der Kugel
PS
Das Ergebnis aus dem Matheboard würde mich interessieren.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2024 18:22 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Das Ergebnis aus dem Matheboard würde mich interessieren. |
Die kriegen den Ansatz nicht hin.
Erklärst du deinen?
Du nimmst an, dass wann genau die Rollbedingung im U-Rohr *) gilt? D.h. es wirkt die Reibungskraft aufgrund der Anpresskraft, d.h. Projektion der Zentrifugal- plus Gravitationskraft?
*) das wir mal so nennen wollen, obwohl wir die Form noch nicht kennen
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Thorben
Anmeldungsdatum: 03.06.2024
Beiträge: 15
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| Thorben Verfasst am: 28. Jun 2024 18:57 Titel: |
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Eines vorweg - ich bin was Mathe und Physik angeht dicht an der Amöbe. Ich habe weder das eine noch das andere studiert und bin nur neugierig und finde halt an der einen oder anderen Sache Spaß.
Die Kardinalfrage ist doch wie die Umlenkung der nach unten gerichteten Kraft, mit tunlichst geringen Verlusten passieren kann. Wenn ich mir vorstelle wie ein Flugzeugreifen bei der Landung malträtiert wird, wird das Hauptproblem wohl die Reibung sein.
Leider habe ich keine Vorstellung in welcher Höhe angefangen werden muss die Kugel von der Senkrechten abzubringen, daher kann ich natürlich auch nicht angeben welchen Durchmesser dieses Konstrukt haben müsste.
Mein Ansatz ist lediglich: Wenn das für die Kegelkugel herauszubekommen ist, müsste es doch auch für jedes kugelförmige Objekt gelten, immer im entsprechenden Verhältnis zum Durchmesser.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
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| Mathefix Verfasst am: 28. Jun 2024 20:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Das Ergebnis aus dem Matheboard würde mich interessieren. |
Die kriegen den Ansatz nicht hin.
Erklärst du deinen?
Du nimmst an, dass wann genau die Rollbedingung im U-Rohr *) gilt? D.h. es wirkt die Reibungskraft aufgrund der Anpresskraft, d.h. Projektion der Zentrifugal- plus Gravitationskraft?
*) das wir mal so nennen wollen, obwohl wir die Form noch nicht kennen |
Hallo TomS
Die Rollbewegung beginnt instantan sobald sich die Kugel um die Strecke ds = rho * d(phi) auf der Bahnkurve bewegt hat. Die Reibkraft F_R= Normalkraft F_N*mü übt das Drehmoment
M = F_R*r aus, wobei gilt M <= I*alpha. F_N = Zentripetalkraft + Gewichtskraft.
Ich denke nochmal grundsätzlich nach, ob in diesem Fall die Arbeit nicht unabhängig vom Weg ist.
Gruss Mathefix
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2024 21:56 Titel: |
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Ok, dann kann das Rohr eigtl. nicht exakt senkrecht verlaufen, weil die Kugel dann nicht weiß, wie sie rotieren soll.
Einigen wir uns auf eine nach oben offene, überall konvexe Kurve?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2024 08:55 Titel: |
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Hier meine Idee, noch unfertig, zunächst ohne Rotationsenergie und Gravitation.
Wir benötigen eine Parametrisierung der Bahnkurve. Ist diese konvex, so sollte folgendes funktionieren:
https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation
 = \int_0^s d\sigma \, (\cos\psi, \sin\psi) = \int_0^\phi d\psi \, \frac{d\sigma}{d\psi} \, (\cos\psi, \sin\psi) )
Dabei ist
)
die Bogenlänge der Kurve als Funktion des Winkels psi.
Außerdem soll gelten
Die Kurve ist damit automatisch konvex.
Gesucht ist also ein Extremum über alle positiven Funktionen
Diese Bedingung muss man aber noch implementieren.
Nun kann man entscheiden, für was man ein Extremum sucht, z.B. für den Energieverlust durch Reibung. Dazu benötigt man
Man muss außerdem im folgenden die Zeit loswerden.
Die radiale Beschleunigungskomponente, senkrecht zur tangentialen Bahngeschwindigkeit, liefert die Reibungskraft. Das kann man noch durch die Normalkomponente der Gravitation ergänzen.
Die Rollbedingung und die Rotationsenergie benötigt man m.E. nicht, da ja nur der Energieverlust gesucht ist, und in den geht ausschließlich die Reibungskraft ein. Diese kann man zunächst unabhängig von der Geschwindigkeit ansetzen.
Der Ansatz sieht nicht so aus, als man damit in fünf Minuten durch wäre.
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T-orben
Gast
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| T-orben Verfasst am: 29. Jun 2024 10:13 Titel: |
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Vielen Dank für die sehr ausführlichen Informationen aber ich hätte nicht im Ansatz gedacht was meine Frage so nach sich zieht. Es kommt hinzu, dass ich hier völlig raus bin. Immerhin hat der eine oder die andere Spaß gehabt aber vielleicht findet sich ja jemand die/der den Weg noch ein Stückchen weiter gehen möchte.
In fassungsloser Bewunderung
Torben
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7306
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| Steffen Bühler Verfasst am: 29. Jun 2024 10:50 Titel: |
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Willkommen auch im Physikerboard!
Ich verstehe Deine Frage so, dass die auffangende Konstruktion einfach sowenig Kräfte nach unten wie möglich abbekommen soll, wenn die Kugel durchfällt. Das entspricht dem Problem bei einer Achterbahn und bei jedem Kurvenabschnitt einer Straße. Hier müssen ebenfalls die Querkräfte minimiert werden. Die Lösung dafür hatte ich im Matheboard ja schon genannt: die Kurve wird in diesem Fall durch eine Klothoide beschrieben. Das sollte dann auch für das U-Rohr gelten.
Viele Grüße
Steffen
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2024 11:57 Titel: |
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Meiner Meinung nach hängt das davon ab, was genau minimiert werden soll. Ich verstehe es bisher so, dass der Energieverlust durch Reibung zu eliminieren ist, also
bei festgehaltenen Endpunkten und -richtungen der Kurve C und bekannter Anfangsgeschwindigkeit. Die Reibungskraft ist dabei gegeben durch die Projektion der jeweiligen Kraft auf den Normalenvektor von C.
M.E. benötigt man die Bewegungsgleichung inkl. dem Reibungsterm, unter der Nebenbedingung, dass die zunächst 2-dim. Bewegung auf auf C erfolgt.
In einer Dimension wäre das zunächst
Also
Der analoge Ausdruck im zwei Dimensionen ist zu integrieren entlang der Kurve, und zwar für alle Kurven C mit festgehaltenen Endpunkten und -richtungen. Da weder die Gesamtzeit T noch die -strecke S fest bzw. bekannt sind, benötigt man m.E. ein Integral über den Winkel.
Das mag zwar auf eine Klothoide hinauslaufen, aber ich sehe das nicht. Außerdem würde es mich wundern, wenn das unter dem Einfluss der Gravitation auch noch gelten würde.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 29. Jun 2024 12:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Hier meine Idee, noch unfertig, zunächst ohne Rotationsenergie und Gravitation.
...
Die Rollbedingung und die Rotationsenergie benötigt man m.E. nicht, da ja nur der Energieverlust gesucht ist, und in den geht ausschließlich die Reibungskraft ein. Diese kann man zunächst unabhängig von der Geschwindigkeit ansetzen. |
Die Rotationsenergie muss beachtet werden, da sie die Translationsgeschwindigkeit reduziert, welche wiederum Bestandteil der Zentripetalkraft ist. Diese wiederum bestimmt die Reibkraft bzw. Reibarbeit.
Translatorische Anfangsenergie der Kugel
G = Gleiten
R = Rollen
Kugel gleitet
Kugel rollt
Zentripetalkraft
Homogene Kugel
Der Einfluss der Rotation ist nicht vernachlässigbar klein.
Ich stimme zu, dass
a) die Bahnkurve konkav ist
b) die Aufgabe nicht in 5 Minuten lösbar ist.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 29. Jun 2024 14:27 Titel: |
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Du hast recht, die Rotation muss aus dem von dir genannten Grund berücksichtigt werden.
Damit haben wir mehrere Parameter, nämlich den (fue) Reibungskoeffizienten, den Radius und die Masse, sowie natürlich die Anfangsgeschwindigkeit.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3273
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| VeryApe Verfasst am: 01. Jul 2024 13:23 Titel: |
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Wenn man das mit Gleitreibung betrachten würde, was bei der Geschwindigkeit und überhaupt keiner Rotation zu Beginn mal plausibel wäre, macht das ganze überhaupt keinen Sinn.
}{2}=-\mu_{g}*m(\frac{v²}{\varrho}+g*sin \alpha)d\alpha*\varrho+g*cos \alpha*\varrho*d\alpha)
*d\alpha+g*cos \alpha*\varrho*d\alpha)
+\frac{g*cos \alpha*\varrho}{v})
je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht.
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WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w
Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 01. Jul 2024 19:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2024 15:43 Titel: |
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Das ist zu einfach gedacht, fürchte ich.
Ich grüble aber selbst noch daran.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2024 11:46 Titel: |
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Meine Überlegung:
Da Rotation und Reibung die Geschwindigkeit der Masse reduzieren und v_0 eine Konstante ist, hat die Bahnkurve die geringsten "Energieverluste", bei der die Bewegungszeit der Masse minimal ist.
M.E. Ist die Bahnkurve einer Brachistochrone (v_0=0, I=0, mü=0) ähnlich
Grundgleichung (m der Übersicht halber gekürzt)
\cdot v^{2} +\mu \cdot \int (g\cdot \cos(\alpha) +\frac{v^{2} }{\varrho } ) \cdot \dd s)
^{2} + \left( \frac{\dd y}{\dd t}\cdot \frac{\dd x}{\dd x}\right)^{2} = \left(\frac{\dd x}{\dd t}\right)^{2}\cdot \left(1+\left(\frac{\dd y}{\dd x}\right) ^{2}\right))
Homogene Kugel
 = 0,7)
 = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\dd y}{\dd x}\right)^{2} } } )
^{2}\right) ^{\frac{3}{2} } }{\frac{\dd_2 y}{\dd x} } )
^{2} } \cdot \dd x )
Einsetzen und nach
umstellen
Die Herleitung tue ich mir nicht an.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 02. Jul 2024 12:46, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2024 12:25 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: |
je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht. |
Muss es nicht heissen?
Je grösser der Krümmungsradius, desto geringer die Zentripetalkraft und desto grösser der Anteil der Gewichtskraft.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 02. Jul 2024 13:22 Titel: |
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Warum eine Brachistochrone?
Diese minimiert
wobei Energieerhaltung verwendet wird.
Hier wollen wir aber
minimieren, wobei Energieerhaltung gerade nicht gilt.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2024 15:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Warum eine Brachistochrone?
Hier wollen wir aber
minimieren, wobei Energieerhaltung gerade nicht gilt. |
Ich weiss nicht, ob man den Reibungsterm isoliert betrachten kann. Ich folge aber Deinem Vorschlag:
 +\frac{v^{2} }{\varrho } ) \cdot \dd s)
mit 
, \varrho, \dd s) s.o.
^{2} } \cdot \dd x ))
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 03. Jul 2024 17:44 Titel: |
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Ich habe wenig Zeit, mich dem Thema zu widmen. Trotzdem mal eine kurze Zusammenfassung meiner Ideen.
Ich starte mit
wobei C einen Constraint bezeichnen, der den Körper auf eine 1-dim. Kurve zwingt. In unserem Fall für eine konvexe Kurve wäre das z.B.
)
mit einer gegebenen Funktion c; (hier und m folgenden bezeichnet r immer den Ortsvektor)
Das brauchen wir aber erst mal nicht.
Die bekannte Lagrangefunktion lautet
Daraus folgen die beiden Euler-Langrange-Gleichungen
Der Gradient des Constraints liefert die Zwangskräfte, um den Körper auf der Kurve zu halten.
Nun erweitern wir das Problem um einen Reibungsterm
mu ist der Reibungskoeffizient.
A ist die lokale Normalbeschleunigung mit zwei Beiträgen, von der Krümmung der Kurve sowie von der Gravitation
)
wobei ich in der letzten Formel die z-Richtung auf den lokalen Normalen-Einheitsvektor projiziere; (,) bezeichnet das Skalaprodukt.
Die m.M.n. einfachste Konstruktion folgt aus dem Tangenten-Einheitsvektor
 = (e_z, \Omega e_t))
Omega bezeichnet eine 90°-Rotation.
Für die Beschleunigung gilt
Damit folgt für die skalare Krümmung kappa (proportional zu 1 / Krümmungsradius)
 = v^{-1}(\ddot{r}, \Omega \dot{r}))
und somit letztlich
)
Die beiden Euler-Langrange-Gleichungen lauten
 \dot{r} = 0)
Mit
 = 0)
 = \dot{E} )
liefert die Projektion auf die Geschwindigkeit sowie auf die Normale
 = 0)
 + m \lambda (\nabla C, \Omega \dot{r})= 0)
Bei gegebener Kurve wären nur diese Gleichungen zu lösen.
Nun wollen wir jedoch die Kurve bestimmen, die den Energieverlust minimiert, d.h. zu minimieren ist
 = m\mu \int_0^T dt \, \lambda (\nabla C, \Omega \dot{r}) )
Da die Zwangskräfte orthogonal zur gesuchten Kurve und damit parallel zum Gradienten sind, folgt
Außerdem gilt in Polarkoordinaten
 = c(\phi) \, e_r(\phi) )
 \right| )
wobei c eine konvexe Kurve beschreibt, die einen nach oben geöffneten, konvex deformierten Halbkreis beschreibt.
An der Stelle bin ich mir nicht sicher, ob alle Rechnungen korrekt sind, ob ich nicht doch irgendwelche Bedingungen verloren habe, und ob ich den Lagrange-Multiplikator lambda doch noch loswerden kann oder muss. Letzterer kommt ins Spiel, da ich die zweite Bewegungsgleichung nutze, um zweite Ableitung von r zu eliminieren.
M.a.W., es wäre schön, wenn mal jemand drüberschauen würde.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jul 2024 22:30 Titel: |
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@TomS
Die Bahnkurve ist konkav.
"Ist das Mädchen brav, ist der Bauch konkav. Ist der Bauch konvex, hatte das Mädchen Sex" 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 03. Jul 2024 22:42 Titel: |
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Und sonst?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 04. Jul 2024 12:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Und sonst? |
Sieht m.E. gut aus. "g" ist irgendwo verschwunden.
Das die Kurve konkav sein muss ist klar, auch das sie kein Halbkreis ist.
Welcher bekannten Funktion ist sie ähnlich?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 04. Jul 2024 13:18 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Sieht m.E. gut aus. "g" ist irgendwo verschwunden. |
g verschwindet, wenn man die Normalbeschleunigung mittels der Zwangskraft ausdrückt. Ich bin mir aber unsicher, ob das vollständig ist.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3273
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 04. Jul 2024 21:58 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | VeryApe hat Folgendes geschrieben: |
je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht. |
Muss es nicht heissen?
Je grösser der Krümmungsradius, desto geringer die Zentripetalkraft und desto grösser der Anteil der Gewichtskraft. |
wahrscheinlich hast du den Winkel anders im Kopf. Ich hatte das vor Augen. |
ok, kann man machen. Üblicherweise wird aber der Steigungswinkel zur Horizontalen genommen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 06. Jul 2024 15:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich habe wenig Zeit, mich dem Thema zu widmen. Trotzdem mal eine kurze Zusammenfassung meiner Ideen.
Ich starte mit
wobei C einen Constraint bezeichnen, der den Körper auf eine 1-dim. Kurve zwingt. In unserem Fall für eine konvexe Kurve wäre das z.B.
mit einer gegebenen Funktion c; (hier und m folgenden bezeichnet r immer den Ortsvektor)
Das brauchen wir aber erst mal nicht.
Die bekannte Lagrangefunktion lautet
Daraus folgen die beiden Euler-Langrange-Gleichungen
Der Gradient des Constraints liefert die Zwangskräfte, um den Körper auf der Kurve zu halten.
Nun erweitern wir das Problem um einen Reibungsterm
mu ist der Reibungskoeffizient.
A ist die lokale Normalbeschleunigung mit zwei Beiträgen, von der Krümmung der Kurve sowie von der Gravitation
wobei ich in der letzten Formel die z-Richtung auf den lokalen Normalen-Einheitsvektor projiziere; (,) bezeichnet das Skalaprodukt.
Die m.M.n. einfachste Konstruktion folgt aus dem Tangenten-Einheitsvektor
Omega bezeichnet eine 90°-Rotation.
Für die Beschleunigung gilt
Damit folgt für die skalare Krümmung kappa (proportional zu 1 / Krümmungsradius)
und somit letztlich
Die beiden Euler-Langrange-Gleichungen lauten
Mit
liefert die Projektion auf die Geschwindigkeit sowie auf die Normale
Bei gegebener Kurve wären nur diese Gleichungen zu lösen.
Nun wollen wir jedoch die Kurve bestimmen, die den Energieverlust minimiert, d.h. zu minimieren ist
Da die Zwangskräfte orthogonal zur gesuchten Kurve und damit parallel zum Gradienten sind, folgt
Außerdem gilt in Polarkoordinaten
wobei c eine konvexe Kurve beschreibt, die einen nach oben geöffneten, konvex deformierten Halbkreis beschreibt.
An der Stelle bin ich mir nicht sicher, ob alle Rechnungen korrekt sind, ob ich nicht doch irgendwelche Bedingungen verloren habe, und ob ich den Lagrange-Multiplikator lambda doch noch loswerden kann oder muss. Letzterer kommt ins Spiel, da ich die zweite Bewegungsgleichung nutze, um zweite Ableitung von r zu eliminieren.
M.a.W., es wäre schön, wenn mal jemand drüberschauen würde. |
Das ist zwar richtig, aber das folgende evtl. nicht mehr, da
sondern lediglich
d.h. nur wenn C=0 erfüllt ist. Man darf den Constraint nicht zu früh Null setzen. Ich verliere Bedingungen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 07. Jul 2024 09:11 Titel: |
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Ich lasse im Folgenden die Gravitation weg. Dadurch vereinfacht sich das Problem erheblich, da nur Kräfte entlang der Kurve vorliegen.
Der Energieverlust lautet
Ich setze
Dabei ist kappa die Krümmung entlang der Kurve.
https://en.wikipedia.org/wiki/Frenet%E2%80%93Serret_formulas
Für die Radialbeschleunigung gilt
 = u^2 \kappa)
Mit
folgt
Ich möchte das aber mittels der Bogenlänge s ausdrücken, also
Die letzte Gleichung kann ich exakt integrieren.
 = u_0 \, \exp\left( - \mu \int_0^s d\sigma \, \kappa \right))
Zu minimieren ist der Energieverlust entlang der Kurve, d.h. zu maximieren ist die Endgeschwindigkeit nach Durchlaufen der Kurve.
Ich verwende die Parametrisierung
https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation
Dabei ist wieder s bzw. sigma
die Bogenlänge der Kurve als Funktion des Winkels psi.
Das Integral lautet dann
da
Die Nebenbedingungen an die Kurve C seien,
1. dass sie konvex *) ist, d.h. dass überall positive Krümmung vorliegt, und
2. dass ein fester Umlenkwinkel vorgegeben ist.
Ausgedrückt durch diesen erhalten wir
und damit
Das Integral ist übrigens die sogenannte Totalkrümmung
https://en.wikipedia.org/wiki/Total_curvature
Alle konvexen *) Kurven mit gegebenen Umlenkwinkel liefern die selbe Endgeschwindigkeit, die weitere Form der Kurven ist irrelevant! Dieses Ergebnis hängt außerdem nicht von der Anfangsgeschwindigkeiten oder dem Reibungskoeffizienten ab.
Schönes Ergebnis – also bitte nachprüfen.
Was sagt das für die ursprüngliche Fragestellung? Wenig – es sei denn, es gilt entlang der Kurve
Für eine grobe Näherung setzen wir
Damit folgt für den Krümmungsradius
die Bedingung
d.h. für Kurven mit wenigen Metern Durchmesser ist deren genaue Form irrelevant; für eine Umlenkung von 180° gilt
Die exakte Einbeziehung der Gravitation macht das Ganze deutlich komplizierter, da die Differentialgleichung für u(s) nicht mehr exakt integrierbar ist. Weiter verkompliziert wird das ganze durch die Betrachtung realer Kugeln mit Rotationsenergie.
*) die Beschränkung auf konvexe Kurven ist rein technisch; wenn man abschnittsweise wechselnde Krümmung geeignet betrachtet, funktioniert das für beliebige genügend oft differenzierbare Kurven
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5972
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| Myon Verfasst am: 07. Jul 2024 19:17 Titel: |
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Ja, das ist schön. Und es sollte auch richtig sein, denn aus
(steht natürlich schon oben) sieht man bereits, dass der gesamte Energieverlust unabhängig von der Krümmung bzw. vom Krümmungsverlauf ist, solange die Bahnkurve durchgehend konvex ist.
Im ersten Beitrag wurde ein Gebäude mit 828m Höhe erwähnt. Rein theoretisch müsste die Bahn von Beginn weg möglichst stark gekrümmt sein, denn je grösser die Höhendifferenz, umso grösser die Geschwindigkeit und damit die Normalkraft. Aber das ist natürlich praxisfremd, und die Frage war wahrscheinlich auch nicht so gemeint. Wobei ich diesbezüglich ohnehin nicht sicher bin - war die Frage etwa so gemeint, dass die Kugel den Boden berühren soll? Das wäre wahrscheinlich noch ein schwieriges Optimierungsproblem.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 07. Jul 2024 19:34 Titel: |
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Danke für den Einzeiler 🫣
Ich habe ewig gebraucht, um zu erkennen, dass
- man es über s und kappa formulieren muss
- man es ohne g formulieren muss, weil damit der Constraint trivial wird
- ich daran die meiste Zeit verschwendet habe
- meine erste Idee die beste war, die aber nur ohne den Constraint funktioniert
Ich dachte, die Kugel fällt senkrecht und wird erst in Bodennähe umgelenkt. Ohne Gravitation sind Details aber eh egal.
Mit Gravitation muss ich mir überlegen, ob man Störungstheorie anwenden kann.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
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| Mathefix Verfasst am: 08. Jul 2024 11:17 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
(steht natürlich schon oben) sieht man bereits, dass der gesamte Energieverlust unabhängig von der Krümmung bzw. vom Krümmungsverlauf ist, solange die Bahnkurve durchgehend konvex ist. |
@Myon
Ich hatte geschrieben
\cdot \mu \cdot \dd s + \frac{ v^{2}}{ \varrho } \cdot m\cdot \mu \cdot\dd s)
)
\cdot \mu \cdot \varrho(\varphi ) \cdot \dd \varphi + \varrho ^{2} (\varphi ) \cdot \dot{\varphi ^{2}} \cdot m\cdot \mu \cdot\dd \varphi )
Danach hängt die Reibarbeit vom Krümmungsverlauf ab.
Liege ich falsch?
Oder hast Du angenommen, dass v auf dem infinitesimalen Wegstück ds konstant ist?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5972
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| Myon Verfasst am: 08. Jul 2024 21:39 Titel: |
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Nein, das ist alles richtig, wobei die Energie natürlich abnimmt. v bleibt nicht konstant, aber die Änderung ist infinitesimal klein.
Bei der Rechnung von TomS kam halt schön heraus, dass -ohne Gravitation- die Energieabnahme nur abhängt vom zurückgelegten Winkel und der Anfangsgeschwindigkeit, nicht von der Form der Kurve. Nachträglich leuchtet das relativ einfach ein, aber ich wäre nicht draufgekommen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 08. Jul 2024 22:29 Titel: |
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Man muss aufpassen, was welcher Winkel bedeutet.
Bei mir ist phi der Winkel für den Ortsvektor in Polarkoordinaten, psi dagegen der Winkel für den Geschwindigkeitsvektor, ebenfalls in Polarkoordinaten.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3273
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| VeryApe Verfasst am: 10. Jul 2024 17:53 Titel: |
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@TomS hast du mal den Computerdrüber rechnen lassen, ob es überhaupt zur Haftreibung kommt, bzw die Sinnhaftigkeit der Lösung überprüft? Da wird wohl die größere Zeit Gleitreibung vorliegen. Und Gravitation einfach weglassen, wieso sollte dann irgendetwas vom Hochhaus fallen ohne Gravitation oder vom Berg? klingt für mich alles nach > in die Tonne
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WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5923
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Jul 2024 18:36 Titel: |
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@ Myon
| Myon hat Folgendes geschrieben: | Nein, das ist alles richtig, wobei die Energie natürlich abnimmt. v bleibt nicht konstant, aber die Änderung ist infinitesimal klein.
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1.Wenn v nicht konstant ist, wovon hängt v dann ab?
2. Wenn die infinitesimale Änderung von v klein d.h. vernachlässigbar ist,
dann ist v als konstant anzunehmen, oder?
3. E ist zu minimieren. Min: E = Int dE
Wie lautet dann die Stammfunktion?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 10. Jul 2024 20:31 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | @TomS hast du mal den Computerdrüber rechnen lassen … |
Nein.
Ohne Gravitation ist das Problem analytisch lösbar – s.o. Und mit Gravitation wird's eklig kompliziert, ohne dass man was lernt. Ich habe noch keinen Ansatz, der einfach genug ist, um ihn schnell auf den Computer setzen zu können.
| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | …ob es überhaupt zur Haftreibung kommt |
Wieso Haftreibung?
| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | bzw die Sinnhaftigkeit der Lösung überprüft? |
Die haben hier mehrere Leute unabhängig voneinander gefunden.
| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Und Gravitation einfach weglassen, wieso sollte dann irgendetwas vom Hochhaus fallen ohne Gravitation oder vom Berg? |
In der Praxis leistet die Gravitation zweierlei: sie liefert die Anfangsgeschwindigkeit nach freiem Fall, und sie liefert eine ausgezeichnete Richtung mit zusätzlicher Beschleunigung d.h. Tangential- sowie zusätzlicher Normalkraft. Ersteres kann man auch durch eine Anfangsbedingung ersetzen, dazu braucht's keine Gravitation.
Die Bedingung für die Vernachlässigung der Gravitation habe ich oben abgeschätzt. Alles andere tue ich mir erst dann an, wenn ich vom Architekten des neuen Vergnügungsparks in Dubai den Vertrag vorliegen habe.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 10. Jul 2024 20:43 Titel: |
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@Myon & Mathefix –
hatten wir das nicht schon geklärt?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5972
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| Myon Verfasst am: 10. Jul 2024 22:10 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | 1.Wenn v nicht konstant ist, wovon hängt v dann ab? |
Im Fall ohne Grenzgeschwindigkeit wird eine Anfangsgeschwindigkeit benötigt. v hängt ab von dieser und vom "zurückgelegten" (Tangenten-)winkel.
| Zitat: | | 2. Wenn die infinitesimale Änderung von v klein d.h. vernachlässigbar ist, dann ist v als konstant anzunehmen, oder? |
Du hast oben gefragt, ob v als auf dem Wegelement ds konstant angenommen wurde. Da war die Antwort (genaugenommen) nein, v nimmt entsprechend dE ab. Für den Grenzfall ds gegen null strebt v gegen einen Grenzwert.
Natürlich nimmt v über eine ausgedehnte, gekrümmte Strecke infolge der Gleitreibung ab.
| Zitat: | 3. E ist zu minimieren. Min: E = Int dE
Wie lautet dann die Stammfunktion? |
Betrachtet man E in Abhängigkeit von psi (Tangentenwinkel oder Winkel des Krümmungsradius), ohne Gravitation und Kurve durchwegs konvex, s.o.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Myon & Mathefix –
hatten wir das nicht schon geklärt? |
Doch, eigentlich schon;)
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3273
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| VeryApe Verfasst am: 11. Jul 2024 09:28 Titel: |
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| TOMS hat Folgendes geschrieben: | | Ohne Gravitation ist das Problem analytisch lösbar |
Ohne Gravitation verstehe ich ehrlich gesagt die ganze Herumrechnerei nicht 
| Veryape hat Folgendes geschrieben: | |
Ohne Gravitation müsste ja das gelten.
dann hängt alles nur von der Anfangsgeschwindigkeit und den Gleitreibungskoeffizienten ab. Was muß ich da dann noch viel herumrechnen
Ich dachte mit Gravitation bekommt das Ganze erst einen Sinn. 
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