Kovariante/kontravariante Geschwindigkeitskomponenten

pfeifhns · Anmeldungsdatum: 24.12.2021 Beiträge: 7

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe die folgende Frage:
Ich möchte die Geschwindigkeit in sphärischen Koordinaten berechnen und verwende dabei Tensorrechnung. Die kontravarianten Komponenten sind - nach Literatur - einfach die Ableitungen nach der Zeit. Wenn ich dann die kontravarianten Kompontenten mittels des Mtreiktensors in kovarinate Koponenten umrechne (Index herunterziehen), dann erhalte ich ein falsches Ergebnis.

Meine Ideen:
Ich verwende die folgenden Funktionen für sphärische Koordinaten:

Der Metrik-Tensor ist die Diagonalmatrix

Die kontravariante Koponente der Geschwindigkeit ist:

Wenn ich diese Komponente über den Metrik-Tensor in kovariant umwandele, erhalte ich:

Es muss aber

sein.
Wo ist mein Gedankenfehler?
Ist es, dass die kontravarianten Komponenten mit den Inversen der Lamé-Koeffizienten zu versehen sind? Das wäre in diesem Fall "r", und dies würde sich dann herauskürzen, so dass das richtige Ergebnis herauskommt.
VG Hans