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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 09. Jun 2024 14:44 Titel: Flammsches Paraboloid des gek. Raums bei nichtrotierende SL |
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Ich bin ein wenig mit GeoGebra 3D am ausprobieren und habe die Gleichung für das flammsche Paraboloid eingesetzt. Der Scheitelpunkt liegt auf z=0. Ich habe noch eine Ebene auf z=0 zur Visualisierung des Nulldurchgangs eingefügt.
Die nötige Polarkoordinate habe ich aus x und y umgerechnet.
Mit dem Schieberegler M kann die Masse variiert werden.
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Edit: link aktualisiert
Es wird ja immer wieder geschrieben, dass die Krümmung des Raum um ein SL genau so veranschaulicht werden kann. Ist das auch so?
Zuletzt bearbeitet von antaris am 17. Jun 2024 17:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS Moderator
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 09. Jun 2024 16:56 Titel: |
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Ein paar Fragen:
- In dem Bild ist der Schwarzschildradius 2M (weil c=G=1)?
- Welche Bedeutung hat die z-Achse? Ist es die ganz normale z-Achse des 3D-Raum?
- Die Linien des Koordinatensystems der gekrümmten Ebene verlaufen anders, als sie in den ganzen Bildern in denen das flammschen Paraboloid dargestellt wird (auch im von dir zitierten link). Warum wird das anders dargestellt? Hängt es damit zusammen, dass in GeoGebra keine Kugelkoordinaten verwendet werden können?
- Welche Bedeutung hat die Ebene bei z=0?
- Wie hängt der Blickwinkel auf die z-Achse (im Bezug zur x und y Achse) zusammen bzw. hat das irgendeine Relevanz?
- Ich habe eine Kugel mit Schwarzschildradius hinzugefügt, dessen Oberfläche der EH des SL sein sollte. Den Trichter des Paraboloid um die Kugel herum, muss sich sozusagen von "allen Seiten" der Kugeloberfläche vorgestellt werden?
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Edit: link aktualisiert
Zuletzt bearbeitet von antaris am 17. Jun 2024 17:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 10. Jun 2024 08:24 Titel: |
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Zunächst ignorieren wir die Zeit-Dimension; dies ist problemlos möglich, da die Schwarzschild-Metrik statisch ist.
Dann stellen wir uns eine 2-dim. Fläche mit Koordinaten x,y oder r,phi vor, die im Koordinatenursprung mit der Singularität zusammenfällt. Im Falle der regulären Schwarzschild-Metrik eines gewöhnlichen Sterns entspricht dies der Äquatorialebene A des Sterns.
Die dritte Dimension mit Koordinate z ist nun keine räumliche Dimension sondern dient alleine der Darstellung einer Funktion z(x,y), die die räumliche (!) Krümmung veranschaulicht. Im Falle des Flammschen Paraboloids F entspricht dies der folgenden Überlegung: In der Ebene A entspricht der physikalische Abstand d(P,Q) zwischen zwei Punkten P,Q (z.B. zwischen zwei Planeten) nicht dem kartesischen Abstand (aus x(P),y(P); Q analog) sondern folgt aus der Schwarzschild-Metrik mittels einer raumartigen Geodäten gamma zwischen P und Q. Nun konstruiert man eine geeignete Fläche F, in der der durch die Schwarzschild-Metrik definierte Abstandsbegriff d(P,Q) als euklidischer Abstandsbegriff d(x,y,z) induziert wird. Mit anderen Worten: misst man den euklidischen Abstand zwischen zwei Punkten in F entlang einer in F gespannten Schnur, so entspricht dies dem mittels der Schwarzschild-Metrik in A zwischen den entsprechenden Punkten P, Q definierten Abstand.
Rest analog
F ist die Funktion des Flammschen Paraboloids
Diese beiden Funktionen sind im folgenden Sinne identisch:
Projiziert man die durch die Schnur definierte Kurve (Geodäte in F) auf die Ebene A, so erhält man im Allgemeinen keine Gerade sondern eine ebenfalls gekrümmte Kurve (Geodäte in A).
Diese in F definierte Geodäten entlang der gespannten Schnur entspricht einer raumartigen Geodäten in der ursprünglichen Schwarzschild-Metrik, d.h. dem physikalischen Abstand zu gleichen Schwarzschild-Zeiten entlang der kürzesten raumartigen Verbindung A. Daher entspricht diese Kurve keiner zeitartigen Geodäten, d.h. keiner Bahnkurve von P nach Q, der ein Körper in der Raumzeit tatsächlich folgt.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Jun 2024 14:42, insgesamt einmal bearbeitet |
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 10. Jun 2024 11:37 Titel: |
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Ich melde mich heute Abend dazu. Ich war die letzten 2 Wochen mit einer schmerzhaften Bannscheibe zuhause und hatte Zeit, muss nun aber wieder Brötchen verdienen.
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TomS Moderator
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 10. Jun 2024 14:39 Titel: |
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Gute Besserung.
_________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 10. Jun 2024 19:36 Titel: |
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Danke
Ich habe gestern noch die vollständige Formel für das flammsche Paraboloid genutzt und die Masse der Erde eingesetzt (einfach um einen realen Bezug zu haben). Dazu interessehalber die 3 Gleichung für die Bekenstein-Hawking-Entropie ausgerechnet, welche wirklich annähernd gleich sind.
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Edit: link aktualisiert
TomS hat Folgendes geschrieben: | Zunächst ignorieren wir die Zeit-Dimension; dies ist problemlos möglich, da die Schwarzschild-Metrik statisch ist. |
Bei Rotation, also mit der Kerr-Metrik würde das nicht mehr funktionieren?
Zitat: | Dann stellen wir uns eine 2-dim. Fläche mit Koordinaten x,y oder r,phi vor, die im Koordinatenursprung mit der Singularität zusammenfällt. |
Das wäre die grüne Ebene Z(x,y)? Ich kann sie nicht z(x,y) nennen, denn da meckert GeoGebra.
Zitat: | Im Falle der regulären Schwarzschild-Metrik eines gewöhnlichen Sterns entspricht dies der Äquatorialebene A des Sterns. |
Die Schwarzschildmetrik gilt für alle Massen gleichermaßen. So wie im link auch die Erdmasse ein EH bilden kann. Nun ist aber aber auch egal wie die Masse verteilt ist. Das heißt die Raumkrümmung ist immer gleich, egal wie sehr die Masse ausgedehnt ist. Der einzige Unterschied besteht nur darin, dass bei r<r_s diese zu einem SL kollabiert. Müsste dann nicht die Äquatorialebene A einer Masse mit r>r_s parallel zur Ebene Z(x,y) auf +z verschoben sein? Das lammsche Paraboloid F läuft immer am EH der Masse mit Z(x,y) zusammen und nur der Schwarzschildradius wird proportional zur Masse kleiner?
Zitat: | Die dritte Dimension mit Koordinate z ist nun keine räumliche Dimension sondern dient alleine der Darstellung einer Funktion z(x,y), die die räumliche (!) Krümmung veranschaulicht. |
Nur eine Rechenhilfe und nichts was mit der Realität in Bezug gesetzt werden kann?
Zitat: | Im Falle des Flammschen Paraboloids F entspricht dies der folgenden Überlegung: In der Ebene A... |
Die og. Äquatorialebene A einer Masse mit r>r_s?
Zitat: | ...entspricht der physikalische Abstand d(P,Q) zwischen zwei Punkten P,Q (z.B. zwischen zwei Planeten) nicht dem kartesischen Abstand (aus x(P),y(P); Q analog) sondern folgt aus der Schwarzschild-Metrik mittels einer raumartigen Geodäten gamma zwischen P und Q. Nun konstruiert man eine geeignete Fläche F, in der der durch die Schwarzschild-Metrik definierte Abstandsbegriff d(P,Q) als euklidischer Abstandsbegriff d(x,y,z) induziert wird. Mit anderen Worten: misst man den euklidischen Abstand zwischen zwei Punkten in F entlang einer in F gespannten Schnur, so entspricht dies dem mittels der Schwarzschild-Metrik in A zwischen den entsprechenden Punkten P, Q definierten Abstand. |
Ich verstehe nicht so ganz was du meinst. F war doch das Flammsche Paraboloid?
Zitat: |
Rest analog
F ist die Funktion des Flammschen Paraboloids
Diese beiden Funktionen sind im folgenden Sinne identisch:
Projiziert man die durch die Schnur definierte Kurve (Geodäte in F) auf die Ebene A, so erhält man im Allgemeinen keine Gerade sondern eine ebenfalls gekrümmte Kurve (Geodäte in A).
Diese in F definierte Geodäten entlang der gespannten Schnur entspricht einer raumartigen Geodäten in der ursprünglichen Schwarzschild-Metrik, d.h. dem physikalischen Abstand zu gleichen Schwarzschild-Zeiten entlang der kürzesten raumartigen Verbindung A. Daher entspricht diese Kurve keiner zeitartigen Geodäten, d.h. keiner Bahnkurve von P nach Q, der ein Körper in der Raumzeit tatsächlich folgt. |
Ich glaube ich muss etwas einzeichnen, um es zu raffen.
Zuletzt bearbeitet von antaris am 17. Jun 2024 17:41, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 10. Jun 2024 21:08 Titel: |
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Ich habe ein bischen was eingezeichnet. Die markierte Fläche auf der flachen Ebene Z(x,y) ist ein Quadrat und wird auf das Paraboloid projiziert?
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TomS Verfasst am: 10. Jun 2024 22:23 Titel: |
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Ist die in F eingezeichnete Kurve eine raumartige Geodäte in F?
https://arxiv.org/pdf/1812.03259
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 11. Jun 2024 20:04 Titel: |
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Ja, da wir nur einen Raum und keine Raumzeit betrachten? Die Geodäte veranschaulicht einen Lichtstrahl aber es ist dennoch keine lichtartige Geodäte, denn Licht breitet sich in einer Raumzeit aus.
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TomS Moderator
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 11. Jun 2024 20:15 Titel: |
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antaris hat Folgendes geschrieben: | Ja, da wir nur einen Raum und keine Raumzeit betrachten? Die Geodäte veranschaulicht einen Lichtstrahl aber es ist dennoch keine lichtartige Geodäte, denn Licht breitet sich in einer Raumzeit aus. |
Die Geodäte ist in unserem Fall eine raumartige Geodäte, d.h. sie liefert den kürzesten raumartigen Abstand für Gleichzeitigkeit bzgl. der Schwarzschild-Zeitkoordinate. Das ist etwas anderes als eine zeit- oder lichtartige Geodäte, entlang derer sich etwas bewegt.
Schau dir den Keplerorbit der ISS an; er entspricht einer zeitartigen Geodäten. Nimm zwei beliebige Punkte auf diesem Orbit. Die raumartige Geodäte zwischen diesen beiden Punkten (nun gleichzeitig gedacht) ist in extrem guter Näherung eine Gerade (im euklidischen Raum).
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antaris
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antaris Verfasst am: 11. Jun 2024 20:36 Titel: |
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Dann hat das raumartig in diesem Fall nichts mit dem Lichtkegel zu tun. Es geht rein um den Abstand zweier Punkte auf einer Geodäte.
Das flammsche Paraboloid könnte theoretisch in einem "3D-Papierdrucker" gedruckt und rotatiossymmetrisch vom Zentrum in Sektoren geteilt werden. Würden die Sektoren ausgeschnitten und auf einer euklidischen Ebene ausgelegt, so ergibt die Geodäte bei aneinandergelegten Sektoren in Näherung eine Gerade? Desto kleiner die Sektoren ausgeschnitten werden, umso genauer die Näherung an einer Geraden?
Geodäten sind Bahnen kräftefreier Körper und somit eigentlich immer(?) geradlinig?
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 11. Jun 2024 21:32 Titel: |
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antaris hat Folgendes geschrieben: | Dann hat das raumartig in diesem Fall nichts mit dem Lichtkegel zu tun. Es geht rein um den Abstand zweier Punkte auf einer Geodäte. |
Natürlich hat es was mit dem Lichtkegel zu tun.
Ich glaube, das müssen wir nochmal von Grund auf diskutieren.
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antaris
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antaris Verfasst am: 11. Jun 2024 22:25 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | Zunächst ignorieren wir die Zeit-Dimension; dies ist problemlos möglich, da die Schwarzschild-Metrik statisch ist. |
Du hattest geschrieben, dass wir die Zeit zunächst ignorieren und ich habe den Zeitpunkt verpasst, ab dem das nicht mehr galt.
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 12. Jun 2024 06:52 Titel: |
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Zunächst: eine Geodäte ist genau dann raumartig, wenn ihre Richtung (d.h. die ihres Tangentialvektors) in jedem ihrer Punkte außerhalb des im jeweiligen Punkt angehefteten Lichtkegels verläuft.
Nur darüber reden wir.
Wir haben in der Raumzeit speziell für eine feste Schwarzschild-Zeitkoordinate
eine raumartige Geodäte gamma zwischen zwei Punkten P und Q
Der Parameter s kann so skaliert werden, dass er der Eigenlänge (berechnet mittels Schwarzschild-Metrik) entlang der Geodäte gamma entspricht.
Für das Flammsche Paraboloid wählen wir außerdem noch
und reduzieren das Problem damit auf die xy-Ebene.
Nun definieren wir das Flammsche Paraboloid mittels z(x,y) und definieren so
wobei S nun der euklidischen Länge gemessen entlang Gamma in der Fläche F entspricht.
Das entspricht einer Abbildung von gamma auf Gamma, wobei außerdem
gilt.
Anmerkung:
Eine zeitartige Geodäte benötigen wir dazu nicht; insbs. ist gamma keine reale Bahnkurve, also keine zeitartige Geodäte. Diese entspräche ja
mit variabler Zeit
entlang dieser Kurve, und sie verliefe in jedem ihrer Punkte innerhalb des im jeweiligen Punkt angehefteten Lichtkegels.
Man kann nun eine zeitartige Geodäte gamma* in den 3-Raum projizieren; das entspricht näherungsweise einem Kepler-Orbit. Nun wählt man die oben zugrundegelegten Punkte P und Q auf diesem Kepler-Orbit und betrachtet eine raumartige Geodäte zwischen P und Q; das liefert die obige Geodäte gamma. Aber dieses gamma entspricht nicht näherungsweise dem Keplerorbit sondern näherungsweise einer Geraden.
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antaris Verfasst am: 13. Jun 2024 21:57 Titel: |
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So?
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 13. Jun 2024 23:47 Titel: |
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Ich verstehe die Graphik nicht; sie enthält nur zwei raumartige Dimensionen.
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antaris Verfasst am: 14. Jun 2024 11:52 Titel: |
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Es sollten Geodäten als Großkreise auf einer Kugel darstellen. Hätte ich wohl dazuschreiben oder besser zeichnen können. Die Geodäte verläuft auf einer gekrümmten, also nicht-euklidische 2D Fläche, die im euklidischen 3D Raum eingebettet ist?
Mir ist eigentlich(?!) klar was zeit-, licht- oder raumartig bedeutet. Raumartig getrennte Ereignisse beeinflussen sich kausal nicht, da durch die Ereignisse ausgesandtes Licht, das jeweils andere Ereignis nicht beeinflusst.
Ich stehe aber auf dem Schlauch, was das hier diskutierte Beispiel angeht.
Sind zwei Punkte P und Q auf der Geodäte als 2 raumartig getrennte Ereignisse anzusehen?
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TomS Moderator
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 14. Jun 2024 14:37 Titel: |
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Ich verstehe es noch nicht.
Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden.
Zum Unterscheid zwischen zeit- und raumartigen Geodäten:
Erstere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem im Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q. Beispiel P = "Nürnberg jetzt" und Q = "München in zwei Stunden". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter Geschwindigkeit durchflogen wird, so dass die Zeitkoordinate (auf zwei jeweils in P und Q ruhenden Uhren) gerade zwei Stunden Differenz aufweist. Entlang dieser Geodäten vergeht für den Piloten eines Kleinflugzeuges maximale Eigenzeit, jede Abweichung davon (sei's abweichend von der geraden Linie oder auch Beschlreunigen und Abbremsen), die jedoch P und Q respektiert, verkürzt die Eigenzeit des Piloten.
Letztere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem außerhalb des Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q*. Im vorliegenden Fall wäre das P = "Nürnberg jetzt" und Q* = "München jetzt". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter "Geschwindigkeit durchlaufen" wird, wobei dieses "Laufen" nur ein gedachter Vorgang ist, bei dem keine Zeit sondern nur eine "räumliche Distanz vergeht"; die in P und Q* ruhenden Uhren zeigen die selbe Zeit. Entlang dieser Geodäte ist die räumliche Distanz minimal, jede Abweichung davon, die P und Q* respektiert, z.B. eine gekrümmte Kurve oder Hin- und Herlaufen auf der Kurve, verlängert die Distanz (auf einer Landkarte entspräche das einer Schnur, die straff von P nach Q* gelegt wird, keine Bögen, keine engen Schlaufen …)
Übertragen auf die Schwarzschild-Raumzeit: Zeitartige Geodäten in der 4-dim. Raumzeit sind korkenzieherförmige Bahnen um die Zentralmasse; ihre Projektionen in den 3-dim. Raum führen näherungsweise auf Ellipsen. Raumartige Geodäten sind näherungsweise Geraden (in einem 3-dim. Raum; Details später). Nur letztere sind Gegenstand des Flammschen Paraboloids.
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 14. Jun 2024 18:24 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: |
Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden. |
Die Minkowski-Raumzeit gilt an jedem Punkt von flammschen Paraboloid F?
Zitat: | Zum Unterscheid zwischen zeit- und raumartigen Geodäten:
Erstere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem im Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q. Beispiel P = "Nürnberg jetzt" und Q = "München in zwei Stunden". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter Geschwindigkeit durchflogen wird, so dass die Zeitkoordinate (auf zwei jeweils in P und Q ruhenden Uhren) gerade zwei Stunden Differenz aufweist. Entlang dieser Geodäten vergeht für den Piloten eines Kleinflugzeuges maximale Eigenzeit, jede Abweichung davon (sei's abweichend von der geraden Linie oder auch Beschlreunigen und Abbremsen), die jedoch P und Q respektiert, verkürzt die Eigenzeit des Piloten.
Letztere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem außerhalb des Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q*. Im vorliegenden Fall wäre das P = "Nürnberg jetzt" und Q* = "München jetzt". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter "Geschwindigkeit durchlaufen" wird, wobei dieses "Laufen" nur ein gedachter Vorgang ist, bei dem keine Zeit sondern nur eine "räumliche Distanz vergeht"; die in P und Q* ruhenden Uhren zeigen die selbe Zeit. Entlang dieser Geodäte ist die räumliche Distanz minimal, jede Abweichung davon, die P und Q* respektiert, z.B. eine gekrümmte Kurve oder Hin- und Herlaufen auf der Kurve, verlängert die Distanz (auf einer Landkarte entspräche das einer Schnur, die straff von P nach Q* gelegt wird, keine Bögen, keine engen Schlaufen …) |
Ok, klar der Abstand ist die Hypothenuse und die ist natürlich länger, wenn bei
und ist.
Wenn dann verläuft die Geodäte nur in der Zeit (Auto kaputt...fährt nicht). -> zeitlicher Abstand, zeitartig
Wenn dann verläuft die Geodäte zwischen 2 gleichzeitigen Ereignissen (ein Auto kann aber nicht gleichzeitig an 2 Orte sein)-> räumlicher Abstand, raumartig
Zitat: | Übertragen auf die Schwarzschild-Raumzeit: Zeitartige Geodäten in der 4-dim. Raumzeit sind korkenzieherförmige Bahnen um die Zentralmasse; ihre Projektionen in den 3-dim. Raum führen näherungsweise auf Ellipsen. Raumartige Geodäten sind näherungsweise Geraden (in einem 3-dim. Raum; Details später). Nur letztere sind Gegenstand des Flammschen Paraboloids. |
Also sind die Abstände in F generell (sozusagen konstruktionsbedingt, wegen des gewählten Anschauungsmodell) raumartig?
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TomS Moderator
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 14. Jun 2024 18:46 Titel: |
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antaris hat Folgendes geschrieben: | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden. |
Die Minkowski-Raumzeit gilt an jedem Punkt von flammschen Paraboloid F? |
Nein, nur in diesem einfachen Beispiel.
antaris hat Folgendes geschrieben: | Also sind die Abstände in F generell (sozusagen konstruktionsbedingt, wegen des gewählten Anschauungsmodell) raumartig? |
Konstruktionsbedingt, weil man sich für raumartige Abstände interessiert. Man wählt gleiche Zeitkoordinaten und betrachtet so nur die Geometrie des Raumes.
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antaris
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antaris Verfasst am: 14. Jun 2024 18:58 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | Man wählt gleiche Zeitkoordinaten und betrachtet so nur die Geometrie des Raumes. |
Das
Zitat: | Zunächst ignorieren wir die Zeit-Dimension |
hat mich irritiert. Wenn an jedem Punkt von F t=0 ist, dann habe ich es jetzt verstanden.
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antaris
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antaris Verfasst am: 14. Jun 2024 19:14 Titel: |
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antaris hat Folgendes geschrieben: | Ich habe ein bischen was eingezeichnet. Die markierte Fläche auf der flachen Ebene Z(x,y) ist ein Quadrat und wird auf das Paraboloid projiziert? |
Wir waren bei dem Bild stehengeblieben. Du hattest gefragt ob die eingezeichnete Geodäte A raumartig ist.
Nur kann ich ja nicht einfach mittels Lineal die Abstände auf der gekrümmten Geodäte messen. Mit einer Schnur geht es gedanklich. Bei größer werdenden r wird F und damit auch die Geodäte A immer flacher?
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antaris Verfasst am: 14. Jun 2024 22:26 Titel: |
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Mit einem Auge beim Fußballspiel und mit dem anderen beim Monitor noch etwas ausprobiert.
Hier wird ein Kreis aus der flachen Ebene auf F projiziert, wobei j der Umfang vom roten und l vom schwarzen Kreis ist.
Man kann den Punkt im schwarzen Kreis verschieben und mit R den Radius ändern.
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Edit: link aktualisiert
Zuletzt bearbeitet von antaris am 17. Jun 2024 17:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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antaris Verfasst am: 15. Jun 2024 12:39 Titel: |
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Hier eine andere Version als Grundlage. Etwas geordnet und beschriftet.
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Eine meiner Überlegungen zum Flammschen Paraboloid war, ob aus dem Verhältnis der Flächen der beiden Kreise ein Rückschluss auf die Zeitdimension zulässig ist?
Der invariante Abstand s ergibt sich aus der Wurzel ses Flächeninhalts des schwarzen Kreis und wird durch dessen Radius vorgegeben.
Durch die Projektion des schwarzen Kreis auf F lässt sich auf den Umfang/den Flächeninhalt der roten Kurve schließen. Dessen Wurzel entspricht dem raumartigen Abstand x.
Mit ct = sqrt((ct)^2+x^2) lässt sich dann der zeitartige Abstand ct berechnen.
Leider kriege ich es nicht hin den Flächeninhalt der Kurve k' auf F zu ermitteln (habe bei Geogebra nachgefragt). Er ist über dessen Umfang genähert.
Durch Variation von R, r_s und dem Ort von R (auf der Ebene z(x,y)=0) ist die Dynamik in den Werten schön zu erkennen.
Mit zunehmenden Abstand zum Ereigishorizont nähert sich der Flächeninhalt des roten Kreises immer weiter dem Flächeninhalt des schwarzen Kreis an. Die Zeit verläuft zunehmend gleichförmig und die Raumzeit wird immer flacher.
Ist das zu einfach gedacht?
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antaris Verfasst am: 16. Jun 2024 23:31 Titel: |
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Jetzt mit eine Strecke PQ die auf F projiziert wird. Die Länge der projizierten Kurve P'Q' auf F wird ermittelt und daraus lässt sich dann die Zeitkomponente berechnen oder nicht?
Die Punkte P und Q können verschoben werden. Rechts unten werden die Werte angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 17. Jun 2024 06:09 Titel: |
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Ich verstehe nicht, was du da tust.
Was hat z.B. ein Flächeninhalt mit dem invarianten Abstand zu tun? Und wo soll in F irgendein Zusammenhang mit der Zeit auftauchen?
Kannst du das zunächst in den bekannten Gleichungen der ART d.h. in Schwarzschild-Koordinaten formulieren?
_________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris Verfasst am: 17. Jun 2024 07:11 Titel: |
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Meine Fragestellung bezieht sich auf "Was ist der invariante Abstand s?".
- Bei der ART handelt es sich um eine geometrische Theorie, welche auch geometrisch untersucht werden kann.
- Die Quadrate der Raumzeitabstände (Längen), sowie des invarianten Abstands sind Flächen.
Meine Überlegung war nun, dass bei unendlichen r (Abstand vom EH) der Raumzeitabstand x sich dem invarianten Abstand s annähert, woraus folgen würde, dass bei r=unendlich t=const ist (weil dann der invariante Abstand s = dem räumlichen Abstand x ist).
Es ist ein Vergleich zwischen den invarianten Abständen (s) mit den Raumzeitabständen (x). Wenn delta x <> delta s, dann muss delta t > 0 sein (es liegt ein gekrümmter Raum vor). Wenn delta s = delta x, dann müsste delta t = 0 sein (es liegt kein gekrümmter Raum bzw. ein Raum mit verschwindender Krümmung vor).
Ich habe die flache Ebene bei z(x,y) = 0 als (an jedem Ort in der Schwarzschild-Raumzeit) invariantes Vergleichsmaß zu F herangezogen.
Ich denke die Methode mittels der beiden Strecken PQ und P'Q' sind ein besserer Vergleich, da man diese als echte Maßstäbe nutzen kann.
Zitat: | Kannst du das zunächst in den bekannten Gleichungen der ART d.h. in Schwarzschild-Koordinaten formulieren? |
Das wollte ich im nächsten Schritt probieren.
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 17. Jun 2024 08:02 Titel: |
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Sorry, bei deinem Verständnis geht noch viel durcheinander.
Ja, die ART hat eine im Kern geometrische Theorie.
Nein, die Quadrate der Raumzeitabstände sind keine Flächen sondern Quadrate eines Längenmaßes. Das Quadrat der Länge der Autobahn von München nach Berlin ist kein Flächenmaß sondern das Quadrat eines Längenmaßes; genauer: du kannst keine invariante Fläche auf der Erdoberfläche zeichnen, deren Flächenmaß dem Quadrat des Längenmaßes der Entfernung entspricht.
Dann verwirrt dich die Rolle der Zeit. Lass' sie weg! Das Flammsche Paraboloid befasst sich ausschließlich mit raumartigen Längen. Dazu wird die zeitliche Dimension aus den Gleichungen eliminiert (man betrachtet ausschließlich raumartige Kurven im speziellen 3-Raum mit t=const., d.h. dt=0 entlang der Kurven). Man kann die dadurch eliminierten Informationen auch nicht zurückgewinnen, d.h. es gibt verschiedene Raumzeiten mit dem selben Flammschen Paraboloid.
Ich erkläre die Idee nochmal anhand eines gewöhnlichen 3-dim. Raumes.
wäre eine Metrik, g_i sind Funktionen von x,y,z. Damit kann man kürzeste Entfernungen in einem gekrümmten Raum beschreiben.
Nun eliminieren wir die z-Koordinate und betrachten ausschließlich die xy-Ebene. Wir führen eine Fläche F über der xy-Ebene mittels einer Funktion
ein, so dass folgendes gilt: Die ursprüngliche kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten P und Q im 3-dim. Raum wird durch eine Kurve in F zwischen zwei Punkten p und q in F ersetzt. Dabei ist F gerade so definiert, dass kürzeste Verbindungen im 3-Raum auf kürzeste Verbindungen in F abgebildet werden u.u.
Der Punkt ist, dass man zunächst die z-Dimension eliminiert und anschließend wieder eine Funktion definiert, die man über der xy-Ebene zeichnet, also eine neue dritte Dimension, nennen wir die F-Dimension – dass aber F- und z-Dimension nichts miteinander zu tun haben. F stellt Informationen dar, die sich ausschließlich auf die xy-Ebene beziehen; die Informationen über die z-Richtung wurden vollständig eliminiert.
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antaris Verfasst am: 17. Jun 2024 13:02 Titel: |
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Zitat: | Sorry, bei deinem Verständnis geht noch viel durcheinander. |
Das kann ich nicht ausschließen, wobei ich aber glaube, dass wir aneinander vorbeireden.
Im Minkowski-Raum (damit auch prinzipiell im nicht-gekrümmten euklidischen Raum) liegt eine flache Raumzeit vor. Das bedeutet die Abstände von 2 kräftefrei bewegte Ereignisse sind immer identisch.
Die Umgebung aller gekrümmten Räume ist euklidisch und die gekrümmten Räume sind Unterräume dieses einen euklidischen Raums?
Im flachen Raum lassen sich die räumlichen Abstände aus delta x, delta y, und delta z zusammenfassen, sodass
und somit
ist.
Wir haben hier, bis auf die Subtraktion, einen normalen Pythagoras. Die Länge s entspricht der Hypotenuse und die Längen entsprechen je einer Kathete. Das Quadrat dieser Längen/Abstände ergibt die Quadrate (Flächen), welche je an der Hypotenuse (s^2) bzw. den beiden Katheten ( ) anliegen.
Die Hypotenuse ist der invariante (Einheits-)Abstand und die Katheten sind die nicht-invarianten Abstände, welche voneinander abhängen.
Das diese Quadrate keine Größen sind, die irgendwie real auf das KS der Erde gelegt werden können ist klar aber es ist möglich zumindest das invariante Quadrat in den übergeordneten euklidischen Raum "zu legen". Zunächst sind die Quadrate aber nur Hilfsgrößen, um am Ende alle Abstände berechnen zu können. Ob wir im Bild des Flammschen Paraboloids t=0 und z=0 setzen, ändert nichts daran. Da aber im Flammschen Paraboloid die Länge des Maßstabs vom Ort abhängt (nicht gleich der invarianten Eigenlänge des Maßstabs ist), kann ja nicht sein. Man muss dazu noch die neue z-Koordinate hinzuziehen, welche ein Maß für die Krümmung angibt.
Ist das bis hierhin schon nicht richtig?
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 17. Jun 2024 17:41 Titel: |
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Was sind "kräftefrei bewegte Ereignisse"?
Dein Blick auf den Pythagoras führt dich eventuell in die Irre; die Länge ds ist fundamental und invariant, dx, dy und dz sind es nicht. Vergiss die Idee der Flächen; sie ist nicht falsch, jedoch mindest überflüssig, denn sie liefert keine zusätzliche Information oder Struktur.
Es gilt ganz einfach die Beziehung zwischen der speziellen 2-dim. Untermannigfaltigkeit M mit t=const. und z=const. sowie dem Flammschen Paraboloid F
Hinter F steckt die Idee, die Schwierigkeit links, nämlich die Länge ds in Abhängigkeit von einer komplizierten Metrik, durch ein anschaulicheres Bild rechts, nämlich die Länge dS in Abhängigkeit von einer Fläche zu veranschaulichen.
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antaris Verfasst am: 17. Jun 2024 18:14 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | Was sind "kräftefrei bewegte Ereignisse"? |
Vor allem ist es schlecht formuliert, was mir auch schon auffiel. Ich hatte aber noch keine Zeit zum ändern.
Gemeint sind, Objekte bzw. deren punktuelle/momentane Ereignisse, die sich im flachen Raum auf parallel verlaufende und damit ungekrümmte Geodäten bewegen. Gemeint ist nicht die flache Minkowski-Raumzeit, welche an jedem Punkt bzw. bei infinitesimalen Abständen der Raumzeit gilt. Es geht mir um das hier diskutierte Bild eines schwarzen Loch, dessen Flammsches Paraboloid, den ansonsten (bis in die Unendlichkeit) leeren Raum und der Raumzeit, die bei r = unendlich (Abstand vom EH des SL) gilt.
TomS hat Folgendes geschrieben: |
Dein Blick auf den Pythagoras führt dich eventuell in die Irre; die Länge ds ist fundamental und invariant, dx, dy und dz sind es nicht. Vergiss die Idee der Flächen; sie ist nicht falsch, jedoch mindest überflüssig, denn sie liefert keine zusätzliche Information oder Struktur. |
Vom Pythagoras ist das doch alles abgeleitet...es geht um Wege, Abstände und Längen welche einen tiefen geometrischen Zusammenhang haben.
Die Invariante Länge ist meinem Bild auch fundamental, denn sie ist an allen Orten und bei allen Metriken gültig, da ds seinen Ursprung im stets übergeordneten euklidischen Raum hat.
Ok einverstanden, lass uns die Flächen vergessen bzw. rein als Hilfsgrößen betrachten (was sie in dem Fall wohl auch wirklich nur sind). Ich hatte die Flächen nur als Krücke genutzt, weil ich es nicht geschafft hatte die Länge der Strecke P'Q' auf F zu bestimmen. Da ich bis jetzt auch noch nicht die Fläche des roten Kreises ermitteln konnte, sollte ich das verwerfen.
Die Länge von P'Q' auf F kann ich nun aber ermitteln (dank Hilfestellung) und wir können rein über Abstände/Längen sprechen bzw. diese sogar konkret vermessen. Im Graph habe ich die Kreise, Texte usw ausgeblendet. Zu sehen sind nur noch die beiden Strecken und die dazugehörigen Werte.
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Zitat: | Es gilt ganz einfach die Beziehung zwischen der speziellen 2-dim. Untermannigfaltigkeit M mit t=const. und z=const. sowie dem Flammschen Paraboloid F
Hinter F steckt die Idee, die Schwierigkeit links, nämlich die Länge ds in Abhängigkeit von einer komplizierten Metrik, durch ein anschaulicheres Bild rechts, nämlich die Länge dS in Abhängigkeit von einer Fläche zu veranschaulichen. |
So ähnlich habe ich das eigentlich auch versucht. Ich berechne ja auch nichts wirklich, sondern lasse Geogebra die schwere Arbeit machen. Mein Gedanke war ein rein geometrischer, bei dem ds auf F abgebildet wird und die Länge der so entstandenen gekrümmten Kurve auf F zu ermitteln. Nach meiner Ansicht ist die Krümmung von F, in einem sonst vorgegeben Raum und mit einer gegebenen invarianten Länge, ein Maß für die Zeit.
Wie du ja meintest geht es im Flammschen Paraboloid rein um Abstände im Raum. Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abständ zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt, so kann sich doch zusätzlich nur die Zeitkoordinate ändern (auch wenn das nicht explizit so betrachtet wird).
Ich gebe dir aber schon auch recht, denn das Flammsche Paraboloid ist nur eine vereinfachte Veranschaulichung von etwas viel komplizierteren.
Ich würde das alles gerne mal "richtig" in der 4D Raumzeit durchspielen aber Matlab ist mir zu teuer.
Ich habe Maxima runtergeladen, weil es open source ist (was ich generell sehr mag) und eine große Community hat. Auf LibreTextsPhysics gibt es Lerninhalte zur ART die mit Maxima zum teil visualisiert werden. Früher oder später werde ich mich damit beschäftigen. Ich verstehe das alles viel besser, wenn ich das mit realem Bezug ausprobieren (damit rumspielen) und sehen kann.
https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Relativity/General_Relativity_(Crowell)
https://maxima.sourceforge.io/de/index.html
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TomS Moderator
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TomS Verfasst am: 18. Jun 2024 06:30 Titel: |
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Ich schau's mir nochmal an.
antaris hat Folgendes geschrieben: | Nach meiner Ansicht ist die Krümmung von F, in einem sonst vorgegeben Raum und mit einer gegebenen invarianten Länge, ein Maß für die Zeit. |
Nein. Da steckt noch irgendein Denkfehler drin.
antaris hat Folgendes geschrieben: | Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abstand zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt … |
Warum sollte das so sein?
antaris hat Folgendes geschrieben: | Ich würde das alles gerne mal "richtig" in der 4D Raumzeit durchspielen aber Matlab ist mir zu teuer … Ich verstehe das alles viel besser, wenn ich das mit realem Bezug ausprobieren (damit rumspielen) und sehen kann. |
Was spricht gegen Python?
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antaris
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antaris Verfasst am: 18. Jun 2024 07:34 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | antaris hat Folgendes geschrieben: | Nach meiner Ansicht ist die Krümmung von F, in einem sonst vorgegeben Raum und mit einer gegebenen invarianten Länge, ein Maß für die Zeit. |
Nein. Da steckt noch irgendein Denkfehler drin. |
Vielleicht ist das Flammsche Paraboloid nicht unbedingt dafür geeignet das zu zeigen, was ich meine. Ich kann einen Denkfehler meinerseits nicht ausschließen. Dennoch ist auch in diesem Bild die Krümmung von F das Ergebnis der Schwarzschildmetrik. In der nähe vom Gravitationspotential des SL bewirken Zeitdilatation und Längenkontraktion die Krümmung von F.
Nur bei unendlichen r ist die Krümmung von F verschwindend, da dort die Auswirkungen der Zeitdilatation und Längenkontraktion ebenso verschwindend sind.
Zitat: | antaris hat Folgendes geschrieben: | Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abstand zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt … |
Warum sollte das so sein? |
Weil im Graph die invariante Strecke PQ auf der flachen Ebene und die nicht-invariante Strecke P'Q' auf F nur bei unendlichen r gleich sind. Die Krümmung von F "verlängert" den Maßstab. Die Veranschaulichung mittels F wird sozusagen durch einen unendlich entfernten und zum SL ruhenden Beobachter beobachtet. Wäre der Beobachter der Maßstab P'Q' auf F, so würde dieser aber keine Änderung der seiner Eigenlänge messen können.
Zitat: | antaris hat Folgendes geschrieben: | Ich würde das alles gerne mal "richtig" in der 4D Raumzeit durchspielen aber Matlab ist mir zu teuer … Ich verstehe das alles viel besser, wenn ich das mit realem Bezug ausprobieren (damit rumspielen) und sehen kann. |
Was spricht gegen Python? |
Ich habe ganz früher als Jugendlicher mal Basic auf dem C64 programmiert, später auf Linux ein wenig mit C und auf Windows mit C++ "experimentiert"...alles schon viele Jahre her. Was ich wegen dem Job noch mache ist ab und zu etwas VBA (excel) und VB. Ich könnte mich da reinarbeiten aber das braucht Zeit. Ich glaube da ist ein Umgebung wie Maxima zielführender für mich, zumal es da eben eine große Communiy gibt bei der man sich durchfragen kann. Aber auch das braucht Zeit.
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TomS Moderator
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 18. Jun 2024 08:00 Titel: |
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antaris hat Folgendes geschrieben: | Dennoch ist auch in diesem Bild die Krümmung von F das Ergebnis der Schwarzschildmetrik. |
Ja.
antaris hat Folgendes geschrieben: | In der Nähe vom Gravitationspotential des SL bewirken Zeitdilatation und Längenkontraktion die Krümmung von F. |
Nein.
1. Die Krümmung der Mannigfaltigkeit M, kodiert in der Metrik g, bewirkt eine Zeitdilatation entlang zeitartiger Geodäten.
2. Wir betrachten hier jedoch raumartige Geodäten, die Zeit kommt also nicht mehr vor. Es kommt auch keine Längenkontraktion vor, einzig eine invariante raumartige Länge ds; diese Länge ds wird einmal in der raumartigen Untermannigfaltigkeit berechnet, einmal als dS in F.
Ich habe den Eindruck, du verwendest den Begriff "Längenkontraktion" irgendwie, da Längen sich beim Übergang von der flachen zur Schwarzschildmetrik, ändern, oder dass sie sich in der Nähe des EH ändern; beides trifft nicht zu.
antaris hat Folgendes geschrieben: | Zitat: | antaris hat Folgendes geschrieben: | Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abstand zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt … |
Warum sollte das so sein? |
Weil im Graph die invariante Strecke PQ auf der flachen Ebene und die nicht-invariante Strecke P'Q' auf F nur bei unendlichen r gleich sind. Die Krümmung von F "verlängert" den Maßstab. |
Die Länge auf der flachen Ebene ist irrelevant; eigtl. ist die flache Ebene an sich irrelevant. All das inkl. der Koordinaten x,y sind bedeutungslose Hilfskonstrukte, mit denen du nichts vergleichen solltest.
Die Informationen stecken in invarianten Strecken und Zeiten (letztere haben wir hier eliminiert).
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antaris
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 18. Jun 2024 08:58 Titel: |
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Ok, du hast mich überzeugt. Ich werde darüber noch etwas grübeln und mich, wenn ich Zeit finde, mit Maxima näher beschäftigen.
Zitat: | 2. Wir betrachten hier jedoch raumartige Geodäten, die Zeit kommt also nicht mehr vor. Es kommt auch keine Längenkontraktion vor, einzig eine invariante raumartige Länge ds; diese Länge ds wird einmal in der raumartigen Untermannigfaltigkeit berechnet, einmal als dS in F. |
Das wäre dann dieser part?
Zitat: | ![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\gamma \in M} ds = \int_{\Gamma = f(\gamma) \in F} dS ) |
Gamma ist der Lorentzfaktor?
Zitat: | Die Informationen stecken in invarianten Strecken und Zeiten (letztere haben wir hier eliminiert). |
Auch invariante Zeiten?
Zuletzt bearbeitet von antaris am 18. Jun 2024 09:06, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS Moderator
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740
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TomS Verfasst am: 18. Jun 2024 09:03 Titel: |
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gamma ist die raumartige Geodäte in M; Gamma die entsprechende Kurve in F; steht weiter oben.
Ja, für das Flammsche Paraboloid werden Zeiten vollständig eliminiert, zum einen die Zeitkoordinate, zum anderen die Eigenzeit, da entlang einer raumartigen Geodäte keine Eigenzeit definiert ist, sondern die räumliche Eigenlänge; steht auch oben.
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Anmeldungsdatum: 12.12.2022 Beiträge: 692 Wohnort: In einem chaotischen Universum
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antaris Verfasst am: 18. Jun 2024 09:08 Titel: |
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TomS hat Folgendes geschrieben: | gamma ist die raumartige Geodäte in M; Gamma die entsprechende Kurve in F; steht weiter oben.
Ja, für das Flammsche Paraboloid werden Zeiten vollständig eliminiert, zum einen die Zeitkoordinate, zum anderen die Eigenzeit, da entlang einer raumartigen Geodäte keine Eigenzeit definiert ist, sondern die räumliche Eigenlänge; steht auch oben. |
Ok, dann habe ich es nun verstanden. Ich werde das nochmal Revue passieren lassen.
Kurz zum Grund meiner Überlegung:
Das was mich umtreibt ist der Fakt, dass c überall und zu allen Bezugsystemen konstant ist. Mein Gedanke ist, dass die Raumzeit eine Topologie aufweist, aus der sich die invarianten Messgrößen ergeben. Ich finde es zumindest naheliegend, dass z.B. die Invarianz der Ruhemassen den gleichen Ursprung in der Raumzeit haben, wie auch die Invarianz von c. Sodass die Invarianz sich eben verallgemeinert aus der (Ur-)Struktur der Raumzeit ergibt. Ich kann es nicht näher beschreiben aber das hat sich schon seit längeren in meinem Kopf festgesetzt.
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TomS Verfasst am: 18. Jun 2024 10:36 Titel: |
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antaris hat Folgendes geschrieben: | Das was mich umtreibt ist der Fakt, dass c überall und zu allen Bezugsystemen konstant ist. Mein Gedanke ist, dass die Raumzeit eine Topologie aufweist, aus der sich die invarianten Messgrößen ergeben. Ich finde es zumindest naheliegend, dass z.B. die Invarianz der Ruhemassen den gleichen Ursprung in der Raumzeit haben, wie auch die Invarianz von c. Sodass die Invarianz sich eben verallgemeinert aus der (Ur-)Struktur der Raumzeit ergibt. Ich kann es nicht näher beschreiben aber das hat sich schon seit längeren in meinem Kopf festgesetzt. |
Geometrie, nicht Topologie, ansonsten alles richtig.
In der SRT stellt sich das wie folgt dar:
Man definiert die Vierergeschwindigkeit
für eine beliebige zeitartige Weltlinie x und die Eigenzeit entlang x. u ist der Tangenten-Einheitsvektor entlang der Weltlinie, d.h. mit c=1
Man könnte auch direkt mit lichtartigen Geodaten argumentieren, aber das ist etwas abstrakt, deswegen folgende Überlegung: die relativistische Geschwindigkeitsaddition entspricht einem Lorentz-Boost, d.h. die Transformation der Dreiergeschwindigkeit v beim Übergang zu einem anderen Beobachter mit Dreiergeschwindigkeit w kann in kovarianter Weise mittels einer entsprechenden Lorentz-Transformation gewonnen werden.
Die Dreiergeschwindigkeit folgt dabei jeweils mittels Projektion auf die raumartige Hyperfläche.
Invarianz der Lichtgeschwindigkeit c=1 unter Lorentz-Transformation ist damit gleichbedeutend mit der Tatsache, dass für den Grenzfall v=c=1 die Dreiergeschwindigkeit für alle Beobachter, d.h. unter allen erlaubten relativistischen Geschwindigkeitsadditionen identisch ist.
Das fußt letztlich auf der Invarianz von
D.h. die Forderung nach Lorentz-Invarianz und die Forderung der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit sind letztlich äquivalent.
Nun zur Invarianz der Ruhemasse m. Diese folgt ebenso aus der Forderung nach Lorentz-Invarianz:
Diese Zusammenhänge gelten in der SRT, ebenso in der ART und damit einer gekrümmten Raumzeit, unter der Voraussetzung, dass man diese jeweils in einem Punkt betrachtet, an dem man eine flache Minkowski-Raumzeit als Tangentialraum angeklebt.
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antaris
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antaris Verfasst am: 18. Jun 2024 12:55 Titel: |
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Zitat: | Diese Zusammenhänge gelten in der SRT, ebenso in der ART und damit einer gekrümmten Raumzeit, unter der Voraussetzung, dass man diese jeweils in einem Punkt betrachtet, an dem man eine flache Minkowski-Raumzeit als Tangentialraum angeklebt. |
Dann waren meine Gedanken dazu zumindest in die richtige Richtung.
Das erklärt dann aber "nur" wie die Zusammenhänge geometrisch zu interpretieren sind.
Die Minkowski-Raumzeit bezieht sich generell auf die Tangente im Tangentialraum, also auf einen/die Tangentialpunkt(e) einer Geodäte? Ich dachte bisher immer, dass die Geodäte an jedem Punkt (in guter Näherung) als flach angesehen werden kann oder meint beides das gleiche?
Könnte man sagen, dass Photonen sich, im Gegensatz zu massebehaftete Quantenobjekte, immer in einer symmetrischen Raumzeit (bzw. im symmetrischen Teil der Raumzeit -> darum Topologie) ausbreiten, sodass sich Photonen (und Quantenobjekte mit verschwindender Masse -> Neutrinos) nicht nur zwischen infinitesimale Abstände zweier Punkte auf der Geodäte in einer flachen Minkowski-Raumzeit ausbreitet, sondern dass die raumzeitlichen Abstände für Photonen (und Neutrinos) keine wirkliche Rolle spielen?
Im Gegensatz dazu bricht Masse die o.g. Symmetrie der Raumzeit, sodass dann die Minkowski-Raumzeit nur noch zwischen infinitesimalen Abständen gilt (bzw. sich die zulässigen Abstände vergrößern, umso geringer die Masse ist)?
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