Flammsches Paraboloid des gek. Raums bei nichtrotierende SL

antaris

Ich bin ein wenig mit GeoGebra 3D am ausprobieren und habe die Gleichung für das flammsche Paraboloid eingesetzt. Der Scheitelpunkt liegt auf z=0. Ich habe noch eine Ebene auf z=0 zur Visualisierung des Nulldurchgangs eingefügt.
Die nötige Polarkoordinate habe ich aus x und y umgerechnet.
Mit dem Schieberegler M kann die Masse variiert werden.

https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Edit: link aktualisiert

Es wird ja immer wieder geschrieben, dass die Krümmung des Raum um ein SL genau so veranschaulicht werden kann. Ist das auch so?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

👍

Schau mal hier: https://uni-tuebingen.de/fileadmin/Uni_Tuebingen/Fakultaeten/MathePhysik/Institute/ITP/Braeuer/Skripte/2018_Basic_Physics_Course/Chap06_5.pdf

antaris

Ein paar Fragen:

- In dem Bild ist der Schwarzschildradius 2M (weil c=G=1)?
- Welche Bedeutung hat die z-Achse? Ist es die ganz normale z-Achse des 3D-Raum?
- Die Linien des Koordinatensystems der gekrümmten Ebene verlaufen anders, als sie in den ganzen Bildern in denen das flammschen Paraboloid dargestellt wird (auch im von dir zitierten link). Warum wird das anders dargestellt? Hängt es damit zusammen, dass in GeoGebra keine Kugelkoordinaten verwendet werden können?
- Welche Bedeutung hat die Ebene bei z=0?
- Wie hängt der Blickwinkel auf die z-Achse (im Bezug zur x und y Achse) zusammen bzw. hat das irgendeine Relevanz?
- Ich habe eine Kugel mit Schwarzschildradius hinzugefügt, dessen Oberfläche der EH des SL sein sollte. Den Trichter des Paraboloid um die Kugel herum, muss sich sozusagen von "allen Seiten" der Kugeloberfläche vorgestellt werden?

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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Zunächst ignorieren wir die Zeit-Dimension; dies ist problemlos möglich, da die Schwarzschild-Metrik statisch ist.

Dann stellen wir uns eine 2-dim. Fläche mit Koordinaten x,y oder r,phi vor, die im Koordinatenursprung mit der Singularität zusammenfällt. Im Falle der regulären Schwarzschild-Metrik eines gewöhnlichen Sterns entspricht dies der Äquatorialebene A des Sterns.

Die dritte Dimension mit Koordinate z ist nun keine räumliche Dimension sondern dient alleine der Darstellung einer Funktion z(x,y), die die räumliche (!) Krümmung veranschaulicht. Im Falle des Flammschen Paraboloids F entspricht dies der folgenden Überlegung: In der Ebene A entspricht der physikalische Abstand d(P,Q) zwischen zwei Punkten P,Q (z.B. zwischen zwei Planeten) nicht dem kartesischen Abstand (aus x(P),y(P); Q analog) sondern folgt aus der Schwarzschild-Metrik mittels einer raumartigen Geodäten gamma zwischen P und Q. Nun konstruiert man eine geeignete Fläche F, in der der durch die Schwarzschild-Metrik definierte Abstandsbegriff d(P,Q) als euklidischer Abstandsbegriff d(x,y,z) induziert wird. Mit anderen Worten: misst man den euklidischen Abstand zwischen zwei Punkten in F entlang einer in F gespannten Schnur, so entspricht dies dem mittels der Schwarzschild-Metrik in A zwischen den entsprechenden Punkten P, Q definierten Abstand.

Rest analog

F ist die Funktion des Flammschen Paraboloids

Diese beiden Funktionen sind im folgenden Sinne identisch:

Projiziert man die durch die Schnur definierte Kurve (Geodäte in F) auf die Ebene A, so erhält man im Allgemeinen keine Gerade sondern eine ebenfalls gekrümmte Kurve (Geodäte in A).

Diese in F definierte Geodäten entlang der gespannten Schnur entspricht einer raumartigen Geodäten in der ursprünglichen Schwarzschild-Metrik, d.h. dem physikalischen Abstand zu gleichen Schwarzschild-Zeiten entlang der kürzesten raumartigen Verbindung A. Daher entspricht diese Kurve keiner zeitartigen Geodäten, d.h. keiner Bahnkurve von P nach Q, der ein Körper in der Raumzeit tatsächlich folgt.

antaris

Ich melde mich heute Abend dazu. Ich war die letzten 2 Wochen mit einer schmerzhaften Bannscheibe zuhause und hatte Zeit, muss nun aber wieder Brötchen verdienen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Gute Besserung.

antaris

Danke

Ich habe gestern noch die vollständige Formel für das flammsche Paraboloid genutzt und die Masse der Erde eingesetzt (einfach um einen realen Bezug zu haben). Dazu interessehalber die 3 Gleichung für die Bekenstein-Hawking-Entropie ausgerechnet, welche wirklich annähernd gleich sind.

https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
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antaris

Ich habe ein bischen was eingezeichnet. Die markierte Fläche auf der flachen Ebene Z(x,y) ist ein Quadrat und wird auf das Paraboloid projiziert?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Ist die in F eingezeichnete Kurve eine raumartige Geodäte in F?

https://arxiv.org/pdf/1812.03259

antaris

Ja, da wir nur einen Raum und keine Raumzeit betrachten? Die Geodäte veranschaulicht einen Lichtstrahl aber es ist dennoch keine lichtartige Geodäte, denn Licht breitet sich in einer Raumzeit aus.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

antaris

Dann hat das raumartig in diesem Fall nichts mit dem Lichtkegel zu tun. Es geht rein um den Abstand zweier Punkte auf einer Geodäte.

Das flammsche Paraboloid könnte theoretisch in einem "3D-Papierdrucker" gedruckt und rotatiossymmetrisch vom Zentrum in Sektoren geteilt werden. Würden die Sektoren ausgeschnitten und auf einer euklidischen Ebene ausgelegt, so ergibt die Geodäte bei aneinandergelegten Sektoren in Näherung eine Gerade? Desto kleiner die Sektoren ausgeschnitten werden, umso genauer die Näherung an einer Geraden?
Geodäten sind Bahnen kräftefreier Körper und somit eigentlich immer(?) geradlinig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Zunächst: eine Geodäte ist genau dann raumartig, wenn ihre Richtung (d.h. die ihres Tangentialvektors) in jedem ihrer Punkte außerhalb des im jeweiligen Punkt angehefteten Lichtkegels verläuft.

Nur darüber reden wir.

Wir haben in der Raumzeit speziell für eine feste Schwarzschild-Zeitkoordinate

eine raumartige Geodäte gamma zwischen zwei Punkten P und Q

Der Parameter s kann so skaliert werden, dass er der Eigenlänge (berechnet mittels Schwarzschild-Metrik) entlang der Geodäte gamma entspricht.

Für das Flammsche Paraboloid wählen wir außerdem noch

und reduzieren das Problem damit auf die xy-Ebene.

Nun definieren wir das Flammsche Paraboloid mittels z(x,y) und definieren so

wobei S nun der euklidischen Länge gemessen entlang Gamma in der Fläche F entspricht.

Das entspricht einer Abbildung von gamma auf Gamma, wobei außerdem

gilt.

Anmerkung:

Eine zeitartige Geodäte benötigen wir dazu nicht; insbs. ist gamma keine reale Bahnkurve, also keine zeitartige Geodäte. Diese entspräche ja

mit variabler Zeit

entlang dieser Kurve, und sie verliefe in jedem ihrer Punkte innerhalb des im jeweiligen Punkt angehefteten Lichtkegels.

Man kann nun eine zeitartige Geodäte gamma* in den 3-Raum projizieren; das entspricht näherungsweise einem Kepler-Orbit. Nun wählt man die oben zugrundegelegten Punkte P und Q auf diesem Kepler-Orbit und betrachtet eine raumartige Geodäte zwischen P und Q; das liefert die obige Geodäte gamma. Aber dieses gamma entspricht nicht näherungsweise dem Keplerorbit sondern näherungsweise einer Geraden.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Ich verstehe die Graphik nicht; sie enthält nur zwei raumartige Dimensionen.

antaris

Es sollten Geodäten als Großkreise auf einer Kugel darstellen. Hätte ich wohl dazuschreiben oder besser zeichnen können. Die Geodäte verläuft auf einer gekrümmten, also nicht-euklidische 2D Fläche, die im euklidischen 3D Raum eingebettet ist?

Mir ist eigentlich(?!) klar was zeit-, licht- oder raumartig bedeutet. Raumartig getrennte Ereignisse beeinflussen sich kausal nicht, da durch die Ereignisse ausgesandtes Licht, das jeweils andere Ereignis nicht beeinflusst.
Ich stehe aber auf dem Schlauch, was das hier diskutierte Beispiel angeht.
Sind zwei Punkte P und Q auf der Geodäte als 2 raumartig getrennte Ereignisse anzusehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Ich verstehe es noch nicht.

Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden.

Zum Unterscheid zwischen zeit- und raumartigen Geodäten:

Erstere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem im Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q. Beispiel P = "Nürnberg jetzt" und Q = "München in zwei Stunden". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter Geschwindigkeit durchflogen wird, so dass die Zeitkoordinate (auf zwei jeweils in P und Q ruhenden Uhren) gerade zwei Stunden Differenz aufweist. Entlang dieser Geodäten vergeht für den Piloten eines Kleinflugzeuges maximale Eigenzeit, jede Abweichung davon (sei's abweichend von der geraden Linie oder auch Beschlreunigen und Abbremsen), die jedoch P und Q respektiert, verkürzt die Eigenzeit des Piloten.

Letztere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem außerhalb des Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q*. Im vorliegenden Fall wäre das P = "Nürnberg jetzt" und Q* = "München jetzt". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter "Geschwindigkeit durchlaufen" wird, wobei dieses "Laufen" nur ein gedachter Vorgang ist, bei dem keine Zeit sondern nur eine "räumliche Distanz vergeht"; die in P und Q* ruhenden Uhren zeigen die selbe Zeit. Entlang dieser Geodäte ist die räumliche Distanz minimal, jede Abweichung davon, die P und Q* respektiert, z.B. eine gekrümmte Kurve oder Hin- und Herlaufen auf der Kurve, verlängert die Distanz (auf einer Landkarte entspräche das einer Schnur, die straff von P nach Q* gelegt wird, keine Bögen, keine engen Schlaufen …)

Übertragen auf die Schwarzschild-Raumzeit: Zeitartige Geodäten in der 4-dim. Raumzeit sind korkenzieherförmige Bahnen um die Zentralmasse; ihre Projektionen in den 3-dim. Raum führen näherungsweise auf Ellipsen. Raumartige Geodäten sind näherungsweise Geraden (in einem 3-dim. Raum; Details später). Nur letztere sind Gegenstand des Flammschen Paraboloids.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

antaris

antaris

antaris

Mit einem Auge beim Fußballspiel und mit dem anderen beim Monitor noch etwas ausprobiert.

Hier wird ein Kreis aus der flachen Ebene auf F projiziert, wobei j der Umfang vom roten und l vom schwarzen Kreis ist.
Man kann den Punkt im schwarzen Kreis verschieben und mit R den Radius ändern.

https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh
Edit: link aktualisiert

antaris

Hier eine andere Version als Grundlage. Etwas geordnet und beschriftet.

https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh

Eine meiner Überlegungen zum Flammschen Paraboloid war, ob aus dem Verhältnis der Flächen der beiden Kreise ein Rückschluss auf die Zeitdimension zulässig ist?

Der invariante Abstand s ergibt sich aus der Wurzel ses Flächeninhalts des schwarzen Kreis und wird durch dessen Radius vorgegeben.
Durch die Projektion des schwarzen Kreis auf F lässt sich auf den Umfang/den Flächeninhalt der roten Kurve schließen. Dessen Wurzel entspricht dem raumartigen Abstand x.
Mit ct = sqrt((ct)^2+x^2) lässt sich dann der zeitartige Abstand ct berechnen.

Leider kriege ich es nicht hin den Flächeninhalt der Kurve k' auf F zu ermitteln (habe bei Geogebra nachgefragt). Er ist über dessen Umfang genähert.

Durch Variation von R, r_s und dem Ort von R (auf der Ebene z(x,y)=0) ist die Dynamik in den Werten schön zu erkennen.

Mit zunehmenden Abstand zum Ereigishorizont nähert sich der Flächeninhalt des roten Kreises immer weiter dem Flächeninhalt des schwarzen Kreis an. Die Zeit verläuft zunehmend gleichförmig und die Raumzeit wird immer flacher.

Ist das zu einfach gedacht?

antaris

Jetzt mit eine Strecke PQ die auf F projiziert wird. Die Länge der projizierten Kurve P'Q' auf F wird ermittelt und daraus lässt sich dann die Zeitkomponente berechnen oder nicht?

Die Punkte P und Q können verschoben werden. Rechts unten werden die Werte angezeigt.

https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Ich verstehe nicht, was du da tust.

Was hat z.B. ein Flächeninhalt mit dem invarianten Abstand zu tun? Und wo soll in F irgendein Zusammenhang mit der Zeit auftauchen?

Kannst du das zunächst in den bekannten Gleichungen der ART d.h. in Schwarzschild-Koordinaten formulieren?

antaris

Meine Fragestellung bezieht sich auf "Was ist der invariante Abstand s?".

- Bei der ART handelt es sich um eine geometrische Theorie, welche auch geometrisch untersucht werden kann.
- Die Quadrate der Raumzeitabstände (Längen), sowie des invarianten Abstands sind Flächen.

Meine Überlegung war nun, dass bei unendlichen r (Abstand vom EH) der Raumzeitabstand x sich dem invarianten Abstand s annähert, woraus folgen würde, dass bei r=unendlich t=const ist (weil dann der invariante Abstand s = dem räumlichen Abstand x ist).

Es ist ein Vergleich zwischen den invarianten Abständen (s) mit den Raumzeitabständen (x). Wenn delta x <> delta s, dann muss delta t > 0 sein (es liegt ein gekrümmter Raum vor). Wenn delta s = delta x, dann müsste delta t = 0 sein (es liegt kein gekrümmter Raum bzw. ein Raum mit verschwindender Krümmung vor).

Ich habe die flache Ebene bei z(x,y) = 0 als (an jedem Ort in der Schwarzschild-Raumzeit) invariantes Vergleichsmaß zu F herangezogen.

Ich denke die Methode mittels der beiden Strecken PQ und P'Q' sind ein besserer Vergleich, da man diese als echte Maßstäbe nutzen kann.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Sorry, bei deinem Verständnis geht noch viel durcheinander.

Ja, die ART hat eine im Kern geometrische Theorie.

Nein, die Quadrate der Raumzeitabstände sind keine Flächen sondern Quadrate eines Längenmaßes. Das Quadrat der Länge der Autobahn von München nach Berlin ist kein Flächenmaß sondern das Quadrat eines Längenmaßes; genauer: du kannst keine invariante Fläche auf der Erdoberfläche zeichnen, deren Flächenmaß dem Quadrat des Längenmaßes der Entfernung entspricht.

Dann verwirrt dich die Rolle der Zeit. Lass' sie weg! Das Flammsche Paraboloid befasst sich ausschließlich mit raumartigen Längen. Dazu wird die zeitliche Dimension aus den Gleichungen eliminiert (man betrachtet ausschließlich raumartige Kurven im speziellen 3-Raum mit t=const., d.h. dt=0 entlang der Kurven). Man kann die dadurch eliminierten Informationen auch nicht zurückgewinnen, d.h. es gibt verschiedene Raumzeiten mit dem selben Flammschen Paraboloid.

Ich erkläre die Idee nochmal anhand eines gewöhnlichen 3-dim. Raumes.

wäre eine Metrik, g_i sind Funktionen von x,y,z. Damit kann man kürzeste Entfernungen in einem gekrümmten Raum beschreiben.

Nun eliminieren wir die z-Koordinate und betrachten ausschließlich die xy-Ebene. Wir führen eine Fläche F über der xy-Ebene mittels einer Funktion

ein, so dass folgendes gilt: Die ursprüngliche kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten P und Q im 3-dim. Raum wird durch eine Kurve in F zwischen zwei Punkten p und q in F ersetzt. Dabei ist F gerade so definiert, dass kürzeste Verbindungen im 3-Raum auf kürzeste Verbindungen in F abgebildet werden u.u.

Der Punkt ist, dass man zunächst die z-Dimension eliminiert und anschließend wieder eine Funktion definiert, die man über der xy-Ebene zeichnet, also eine neue dritte Dimension, nennen wir die F-Dimension – dass aber F- und z-Dimension nichts miteinander zu tun haben. F stellt Informationen dar, die sich ausschließlich auf die xy-Ebene beziehen; die Informationen über die z-Richtung wurden vollständig eliminiert.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Was sind "kräftefrei bewegte Ereignisse"?

Dein Blick auf den Pythagoras führt dich eventuell in die Irre; die Länge ds ist fundamental und invariant, dx, dy und dz sind es nicht. Vergiss die Idee der Flächen; sie ist nicht falsch, jedoch mindest überflüssig, denn sie liefert keine zusätzliche Information oder Struktur.

Es gilt ganz einfach die Beziehung zwischen der speziellen 2-dim. Untermannigfaltigkeit M mit t=const. und z=const. sowie dem Flammschen Paraboloid F

Hinter F steckt die Idee, die Schwierigkeit links, nämlich die Länge ds in Abhängigkeit von einer komplizierten Metrik, durch ein anschaulicheres Bild rechts, nämlich die Länge dS in Abhängigkeit von einer Fläche zu veranschaulichen.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

Ich schau's mir nochmal an.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

antaris

Ok, du hast mich überzeugt. Ich werde darüber noch etwas grübeln und mich, wenn ich Zeit finde, mit Maxima näher beschäftigen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

gamma ist die raumartige Geodäte in M; Gamma die entsprechende Kurve in F; steht weiter oben.

Ja, für das Flammsche Paraboloid werden Zeiten vollständig eliminiert, zum einen die Zeitkoordinate, zum anderen die Eigenzeit, da entlang einer raumartigen Geodäte keine Eigenzeit definiert ist, sondern die räumliche Eigenlänge; steht auch oben.

antaris

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18740

antaris