Potential einer Hohlkugel mittels Kugelflächenfunktionen

Leah.Doro · Gast

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,
Ich habe eine Aufgabe im Bereich der Elektrodynamik in der ich nicht so recht weiterkomme.
Ich soll das elektrostatische Potential und das dazugehörige elektrische Feld einer Hohlkugel mit Radius R und der Oberflächenladungsdichte

innerhalb und außerhalb der Kugel bestimmen.
Hierbei soll ich die folgende Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen verwenden:

wobei

und

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Taylorentwicklung und die Vektoren r und r' aufgeschrieben.

Hierbei beschreibt

Ich habe erstmal weit außerhalb der Kugel angefangen und das Potential von da aus berechnet. Hierbei gilt, dass

und

, da r' < r.
Dann habe ich in die Formel

Die Kugelflächenfunktion und die Flächenladungsdichte eingesetzt. Außerdem habe ich folgende Definition eingesetzt

Für

habe ich dann

Raus. Allerdings fängt hier das Problem an.
Ich weiß nicht, wie ich

mit Hilfe von Kugelflächenfunktionen ausdrücken kann. Hier habe ich an die Orthogonalitätsrelationen für die Deltafunktion in der Oberflächenladungsdichte gedacht.
Außerdem weiß ich nicht wie ich die

berechnen kann. Ich habe über Kugelkoordinaten nachgedacht aber war nicht sicher, ob das notwendig ist.
Außerdem weiß ich leider auch nicht wie ich das ganze für das Innere der Kugel machen kann.
Meine Überlegung war, dass

und

.

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte,
Leah

RomanGa · Anmeldungsdatum: 11.03.2022 Beiträge: 56

Hallo Leah. Ich mache es mir einfach und benutze zur Lösung deiner Aufgabe das Buch „Grundkurs Theoretische Physik 3“ von Wolfgang Nolting. Siehe Anlage. Somit hätten wir schon mal die Lösung.

Melde dich bitte, wenn du eine ausführliche Herleitung ohne fertige Formeln möchtest. Vielleicht bekomme ich die noch zusammen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468