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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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 TomS Verfasst am: 11. Jun 2024 11:30 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Also wäre es zulässig zu sagen, das eine Objekt hat Eigenschaft a, das andere b? |
Nochmal: "ein Objekt hat Eigenschaft a, eines Eigenschaft b" ist ok; "das erste Objekt hat Eigenschaft a, das zweite Eigenschaft b" ist nicht OK, da es suggeriert, es gäbe eine Möglichkeit, beide Objekte unterscheidbar zu nummerieren.
"Das Objekt mit Eigenschaft a hat außerdem Eigenschaft x, das Objekt mit Eigenschaft b hat Eigenschaft y" ist auch ok, da hier wiederum nicht nummeriert wird.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Mir geht es eigentlich nicht mal um die quantenmechanische Beschreibungsebene, sondern eher um makroskopische Objekte. |
Schon klar.
Die QM hilft nur insofern, als sie diese Regeln explizit in ihrem Formalismus implementiert; siehe die Zustände psi oben. Das kann man auch für beliebig viele Teilchen verallgemeinern, man kann es sogar so formulieren, dass eine unzulässige Unterscheidung zwischen Teilchen nicht mal mehr hingeschrieben werden kann.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Warum kann ich zb identische Bälle gedanklich durchnummerieren? Klassisch kann ich die Objekte sehr wohl trennen |
Nein, du kannst sie auch klassisch nicht trennen.
"Der erste Ball und der zweite Ball" ist sinnlos. Wie unterscheidest du das von "der zweite Ball und der erste Ball"? Das kannst du nur anhand von Eigenschaften (Orten, Farben, Geschwindigkeiten ...), nicht anhand von ausgedachten Nummern.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Und generell, wie entstehen aus ununterscheidbaren Teilchen unterscheidbar Objekte? |
Indem diese ununterscheidbaren Teilchen sich zu größeren Objekten oder Systemen zusammenschließen, die unterschiedliche Eigenschaften haben.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Jun 2024 16:34, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 11. Jun 2024 13:08 Titel: |
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Aber angenommen ich habe ein großes Gefäß mit n Tischtennisbällen, und jeder Ball hat eine andere Nummer ansonsten sind sie identisch. Wenn ich sie durchmische, kann ich sehr wohl Ball 1 bis Ball n voneinander unterscheiden.
Generell: in der Mechanik nummeriere ich Körper, auch wenn sie ansonsten identisch sind, doch auch durch (zb Masse m1 ....mn). Das ist doch auch ein Teil der klassischen Physik? Und dort ist es erlaubt! |
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 11. Jun 2024 15:23 Titel: |
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Also ist verständlich, wo mein Problem liegt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 11. Jun 2024 15:40 Titel: |
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Nimm an, du hast diese i = 1, 2 ... n identischen Tischtennisbälle, alle mit derselben Masse m, deren wechselweises Potential nur vom Abstand abhängt, sowie einen vollständigen Satz von Anfangsbedingungen
}, v_0^{(1)}), (r_0^{(2)}, v_0^{(2)}) \ldots \})
Die Aufgabe ist, alle Lösungen zu finden.
Es gibt exakt eine:
}, v_t^{(1)}), (r_t^{(2)}, v_t^{(2)}) \ldots \})
Oder schreibst alle n! Permutationen dieser einen Lösung hin, nur weil du dir die Labels dazudenken kannst?
In dem Fall verschwendest du nur Papier, aber in der statistischen Mechanik machst du eben einen Fehler, weil die Zahl der unterscheidbaren Konfigurationen relevant ist. |
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 11. Jun 2024 16:35 Titel: |
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Also müsste ich theoretisch in der newtoschen Mechanik auch meinen Sprachgebrauch ändern? Und wäre deine gezeigte Beschreibung nun zulässig oder nicht (vom Potential)?
Mir geht es jetzt einfach um den realen Versuch, wenn ich die Bälle alle gedanklich label. Dann wären für mich die Bälle schon unterschiedlich, da sich ja jeder an einem anderen Ort befinden würde.
Aber gut, ich vermute mal, dass mein Gedankenexperiment scheitert, weil in echt kein Ball identisch ist, sei der Unterschied noch so klein... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 11. Jun 2024 20:04 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Also müsste ich theoretisch in der newtoschen Mechanik auch meinen Sprachgebrauch ändern? Und wäre deine gezeigte Beschreibung nun zulässig oder nicht (vom Potential)? |
In der Newtonschen Mechanik kann nichts schiefgehen, weil du immer nur an einer Lösung interessiert bist. Wenn du n! physikalisch identische Lösungen hinschreibst, ist das lediglich überflüssig.
In der statistischen Mechanik wird's dagegen falsch, weil die Anzahl der Konfigurationen den Wert physikalischer Größen beeinflusst.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Mir geht es jetzt einfach um den realen Versuch, wenn ich die Bälle alle gedanklich label. Dann wären für mich die Bälle schon unterschiedlich, da sich ja jeder an einem anderen Ort befinden würde. |
Ich glaube, du vermischst das immer noch.
Die Orte zweier Bälle 1 und 2 sind physikalisch unterscheidbar, wenn es sich um verschiedene Orte handelt; "ein Ball ist am Ort a, einer am Ort b" liefert aber nur eine Konfiguration.
Die Bälle bleiben physikalisch ununterscheidbar, auch wenn du ihnen noch eine gedachte Nummer verpasst; daher sind die Konfigurationen "Ball 1 ist am Ort a und Ball 2 ist am Ort b" sowie "Ball 2 ist am Ort a und Ball 1 ist am Ort b" ununterscheidbarer (exakt so wie oben in der QM).
Die Konfigurationen "ein Ball der Masse m ist am Ort a und ein anderer Ball der Masse M ist am Ort b" sowie "ein Ball der Masse M ist am Ort a und ein anderer Ball der Masse m ist am Ort b" sind jedoch unterscheidbar; das liefert zwei Konfigurationen, ist aber ein physikalischer Unterschied aufgrund der Massen, nicht nur einer aufgrund gedachter Labels.
Du kannst entweder die Labels komplett weglassen, oder du kannst sie verwenden, musst dann jedoch Konfigurationen identifizieren, die sich in nichts unterscheiden außer in den Labels.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 12. Jun 2024 07:30 Titel: |
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Mir ging es in der newtoschen Mechanik um folgende Situationen:
Mal angenommen, ich habe einen Mehrmassenschwinger, also verschiedene Massen, die mit Federn zu einem schwingungsfähigen System verbunden werden.
Hier ist es ganz normal, die Massen durchzunummerieren, also m1 ... mn. Nun kann es auch sein, dass alle Körper die gleiche Masse haben, m1=m2=...=mn. Wäre das dann nicht ein Widerspruch zur geforderten Ununterscheidbarkeit identischer Körper der stat. Mechanik? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 12. Jun 2024 08:42 Titel: |
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In diesem Fall unterscheiden sich wieder nicht die Körper, sondern die Orte bzw. Bewegungen der Körper sowie ihre Wechselwirkungen.
Das ist aber ein sehr gutes Beispiel.
Nehmen wir drei identische, durch Federn gekoppelte Massen m als klassisches Modell eines in sich vibrierenden dreiatomigen Moleküls; vernachlässigen wir Rotationsfreiheitsgrade.
Vieles gilt gleichermaßen für die quantenmechanische Betrachtung.
In der statistischen Mechanik eines Gases bestehend aus dreiatomigen Molekülen müssen wir Mikrozustände zählen; diese resultieren aus i) "äußeren" Eigenschaften jedes Moleküls, d.h. Schwerpunkt, Schwerpunktsimpuls sowie ii) "inneren" Eigenschaften eines Moleküls, d.h. Vibrationen relativ zum Schwerpunkt; die beiden äußeren Atome werden anders schwingen als das mittlere.
Ich betrachte im folgenden ausschließlich die Abzählung für (ii), die Abzählung für (i) erfolgt wie bisher bei den Bällen.
Die Lösungen der Schwingungsgleichungen nenne ich f(t), g(t); f(t) gilt für die beiden äußeren Atome, g(t) für das mittlere. Eine Lösung für ein Molekül lautet
 = (f_k(t), g_l(t), f_m(t)))
Die Indizes klm nummerieren die Eigenlösungen der Schwingungsgleichung.
Ein Mikrozustand eines Moleküls, d.h. wie das Molekül vibriert, ist eindeutig festgelegt durch die Indizes, d.h.
In der klassischen Mechanik bezeichnen f(t) und g(t) Bahnkurven, in der Quantenmechanik bezeichnet F(t) die Wellenfunktion. Die Nummerierung mittels k,l,m d.h. die Benennung des Zustandes sollte im wesentlichen identisch sein.
Die wesentliche Konsequenz der Ununterscheidbarkeit der beiden äußeren Teilchen besagt, dass wir die beiden Zustände
identifieren müssen. D.h. es gibt nur einen Zustand. In der Nummerierung berücksichtigen wir dies z.B. mittels der zusätzlichen Forderung
In der statistischen Mechanik betrachtet man Funktionen wie Z (Zustandssumme) u.a.; die Beiträge der einzelnen Zustände aufsummieren. D.h.
z hängt z.B. von der Energie des jeweilen Zustandes ab. Details der Funktion z sind hier irrelevant.
Beispiel: Ein möglicher Zustand d.h. eine mögliche Vibration sei k=7, l=9, m=2. Dann tritt in Z ein Term auf, nicht zwei.
Der zweite Term ist verboten.
Wenn du also gedanklich deine beiden äußeren Massen nummerierst, darfst du gedanklich unterscheiden, ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 7,9,2 ausführen, oder ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 2,9,7 ausführen.
Aber separat zählen darfst du sie nicht, da die einzige Unterscheidung in den von dir eingeführten Labels besteht.
Wie gesagt, das gilt für die klassische Mechanik und die Quantenmechanik.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 12. Jun 2024 15:17 Titel: |
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So, vielen Dank erstmal für diese gut verständliche und umfangreiche Ausführung!
Mir ging es erstmal nur darum, dass das durchzunummerieren der Körper in der Mechanik völlig normal ist. So wie ich es sehe, ist es also genau dann in Ordnung, wenn ich die identischen Zustände nur einmal zähle und nicht doppelt bzw. N-fach mitzähle!?
Und wie wäre es denn, wenn die beiden äußeren Körper trotz identischer Eigenschaften andere Schwingungsdifferentialgleichungen hätten? Zb weil der rechte Körper eine Zwangsanregung erfährt; dann müsste ich trotz identischen Körpern zwischen dem Zustand des linken und rechten Körpers unterscheiden können. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 12. Jun 2024 16:10 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | So, vielen Dank erstmal für diese gut verständliche und umfangreiche Ausführung! |
Gerne.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Mir ging es erstmal nur darum, dass das durchzunummerieren der Körper in der Mechanik völlig normal ist. So wie ich es sehe, ist es also genau dann in Ordnung, wenn ich die identischen Zustände nur einmal zähle und nicht doppelt bzw. N-fach mitzähle!? |
Ja.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Und wie wäre es denn, wenn die beiden äußeren Körper trotz identischer Eigenschaften andere Schwingungsdifferentialgleichungen hätten? Zb weil der rechte Körper eine Zwangsanregung erfährt |
Was ist eine Zwangsanregung?
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | dann müsste ich trotz identischen Körpern zwischen dem Zustand des linken und rechten Körpers unterscheiden können. |
Zumindest in der statistischen Mechanik zählen immer nur die Zustände.
Betrachten wir wieder die o.g. Summe
wobei klm bereits geeignet eingeschränkt ist.
Dann interessiert in der statistischen Mechanik eigentlich nur
Die klm o.ä. laufen über alle Mikrozustände, die Energien E über Makrozustände; dabei umfasst ein Makrozustand der selben Energie E unterschiedlichen Mikrozustände; die Anzahl der Mikrozustände je Makrozustand steckt im Entartungsgrad nu.
Bsp. 3-dim. harmonischer Oszillator in der QM (nicht mehr die Moleküle)
)
wobei k, l, m den drei Quantenzahlen zu x, y, z entsprechen.
Exemplarisch haben wir
Wenn ein Teilchen oder Körper eine derartige Symmetrie stört und anders beiträgt, weil er eine andere Masse oder eine andere Schwingungsfrequenz har und dies zu anderen Energien führt, dann wird dies natürlich unterschieden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 12. Jun 2024 17:09 Titel: |
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Noch eine Anmerkung, wie die Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie das Problem der Symmetrisierung für Bosonen sowie Antisymmetrisierung für Fermionen automatisch löst.
Bsp. zwei Bosonen in zwei möglichen Zuständen; die Teilchen werden mit 1,2 nummeriert, die Wellenfunktionen sind mit den Labels A,B für die Zustände versehen. Ununterscheidbarkeit und daher Symmetrie unter Vertauschung der Teilchen 1,2 führt auf
 = \phi_A(x_1) \, \phi_B(x_2) + \phi_B(x_1) \, \phi_A(x_2))
Symmetrie unter Vertauschung zweier Teilchen bedeutet, dass
 = \psi_{AB}(x_2, x_1))
gelten muss.
Du kannst dir vorstellen, dass es schon bei drei Teilchen keinen rechten Spaß macht, sowas hinzuschreiben.
Führt man nun formal Erzeuger ein, die ein Teilchen bzw. in der n-ten Potenz n Teilchen in Zuständen A,B … erzeugen, so darf man schreiben
^{n_A} \, \left(a^\dagger_B\right)^{n_B} \, \ldots \, |0\rangle)
Und das war's. Diese Zustände sind automatisch symmetriert, Nummern für Teilchen treten überhaupt nicht mehr auf. Damit ist der Formalismus so gestaltet, dass man überhaupt nichts hinschreiben kann, was zwischen identischen Teilchen unterscheiden würde.
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 12. Jun 2024 17:43 Titel: |
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Mit Zwangsanregung meine ich zb eine Kraft, die periodisch auf einen Körper einwirkt.
Aber so wie ich dich verstehe, würde dies berücksichtigt werden und die Massen wären dann wieder unterscheidbar, zumindest nummerierbar.
Vermutlich scheitern auch die meisten Gedanken von mir zur Ununterscheidbarkeit im makroskopischen, da es in der Realität so gut wie keine identischen Körper gibt. Sei der Unterschied noch so klein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 12. Jun 2024 18:11 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | Mit Zwangsanregung meine ich zb eine Kraft, die periodisch auf einen Körper einwirkt.
Aber so wie ich dich verstehe, würde dies berücksichtigt werden und die Massen wären dann wieder unterscheidbar, zumindest nummerierbar. |
Es wäre eher so, dass die oben eingeführten Funktionen f(t) und g(t) anders aussähen; und Teilchen 1 und 3 hätten nicht mehr die selben f's, wenn eines davon einer derartigen Anregung unterläge.
Realistischer wären aber einfach drei verschiedene Massen und zwei unterschiedliche Potentiale bzw. Federhärten. Siehe z.B. HCN.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Vermutlich scheitern auch die meisten Gedanken von mir zur Ununterscheidbarkeit im makroskopischen, da es in der Realität so gut wie keine identischen Körper gibt. Sei der Unterschied noch so klein. |
Na ja, niemand untersucht ein Tischtennisballgas. Aber Isotopeneffekte in Uranhexafluorid könnten interessant sein.
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 12. Jun 2024 22:11 Titel: |
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Ich glaube, vielleicht reden wir etwas aneinander vorbei (wenn auch nicht viel  ).
Eigentlich wollte ich nur darauf hinweisen, dass man in der newtoschen Mechanik Szenarien konstruieren kann, bei denen die Körper identische Eigenschaften (Massen, Trägheitsmoment usw.)haben, diese aber trotzdem durchnummeriert werden. Und das steht ja eigentlich im Widerspruch zur statistischen Mechanik. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 13. Jun 2024 06:30 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, vielleicht reden wir etwas aneinander vorbei (wenn auch nicht viel :) ). |
Ganz wenig.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Eigentlich wollte ich nur darauf hinweisen, dass man in der newtoschen Mechanik Szenarien konstruieren kann, bei denen die Körper identische Eigenschaften (Massen, Trägheitsmoment usw.)haben, diese aber trotzdem durchnummeriert werden. Und das steht ja eigentlich im Widerspruch zur statistischen Mechanik. |
Nein, durchnummerieren alleine ist noch kein Widerspruch oder Fehler.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | … in der statistischen Mechanik machst du einen Fehler, weil die Zahl der unterscheidbaren Konfigurationen relevant ist. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wenn du also gedanklich deine beiden äußeren Massen nummerierst, darfst du gedanklich unterscheiden, ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 7,9,2 ausführen, oder ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 2,9,7 ausführen.
Aber separat zählen darfst du sie nicht [wobei ich zählen hier im Kontext der klassischen oder Quantenstatistik verstehe] |
In der klassischen Physik ist die Ununterscheidbarkeit der Teilchen erst dann relevant, wenn du eine physikalische Größe berechnest, in die die Zahl der möglichen Konfigurationen eingeht. Entweder verzichtest du auf das Durchnummerieren, oder du korrigierst zuletzt die durch die gedanklichen Labels falsche Zahl der Konfigurationen.
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 13. Jun 2024 07:39 Titel: |
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Also, in der newtoschen Mechanik ist das durchzunummerieren erlaubt, da ich keine Größe berechne, die von der Anzahl der Konfigurationen abhängig ist, korrekt?
Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle?[/b] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 13. Jun 2024 08:18 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Also, in der newtoschen Mechanik ist das durchzunummerieren erlaubt, da ich keine Größe berechne, die von der Anzahl der Konfigurationen abhängig ist, korrekt? |
Ja.
| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle? |
Genau. |
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Maddin01
Gast
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| Maddin01 Verfasst am: 13. Jun 2024 09:31 Titel: |
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Alles klar, danke!
| Zitat: | Maddin01 hat Folgendes geschrieben:
Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle?
Genau. |
Würde dies auch so in der Quantenmechanik gelten? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 13. Jun 2024 11:49 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | Alles klar, danke!
| Zitat: | Maddin01 hat Folgendes geschrieben:
Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle?
Genau. |
Würde dies auch so in der Quantenmechanik gelten? |
Ja.
Siehe oben das Beispiel mit dem 3-dim. harmonischen Oszillator. Die Summe über k,l,m ist genau eine Summe über quantenmechanische Zustände. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18740
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| TomS Verfasst am: 13. Jun 2024 23:43 Titel: |
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| Maddin01 hat Folgendes geschrieben: | | Okay. Also gilt es auch für zb verschränkte Teilchen? |
Ja.
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