Potential eines polarisierten Zylinders

ET · Anmeldungsdatum: 24.04.2023 Beiträge: 2

Servus,

ich würde gerne das elektrische Potential innerhalb und außerhalb eines unendlich langen Zylinders mit dem Radius R berechnen. Der Zylinder besitzt sowohl eine Volumenladungsdichte als auch eine Oberflächenladungsdichte.

Bislang wurde ich nur mit einfachen Ladungsverteilungen konfrontiert, bei denen ich Symmetrieargumente oder das Gauß'sche Gesetz anwenden konnte.

Wie löse ich diese Integrale bzw. welche Vorgehensweise ist bei einer solchen Aufgabe empfehlenswert? Ist die Poisson-Gleichung ein geeigneter Lösungsansatz? Wenn ja, wie stelle ich diese auf und gehe dabei vor?

Beste Grüße
ET

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Das zweite Intehral kannst Du ja einfach lösen. Das ist ja dasselbe als wäre es nur ein homogen geladener Zylinder.

Beim ersten fällt mir gerade nichts besseres ein als Brut-Force: r und r' sind konstant. Für |r-r'| den Kosinussatz benutzen. Variablen umbennen chi-chi' = alpha. und dann gucken, ob man damit weiterkommt...

ET · Anmeldungsdatum: 24.04.2023 Beiträge: 2

Du hast vollkommen recht, das zweite Integral entspricht dem Potential eines homogen geladenen Zylinders. Es bereitet demnach keine Schwierigkeiten. Das erste Integral ist quasi der Casus knacksus.

Im Grunde genommen suche ich ja das Potential innerhalb und außerhalb eines unendlich langen Zylinders, auf dessen Oberfläche sich eine gegebene Ladungsdichte befindet.

Ich habe dafür zunächst die Laplace Gleichung in Zylinderkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst und dieses Ergebnis dann für meine Problemstellung herangezogen.
Am Ende habe ich jedoch 4 Unbekannte und nur zwei Gleichungen. Übersehe ich da etwas oder kann ich den Weg über die Laplace Gleichung nicht gehen?