Lagrange Mechanik: Rotationsenergien und Trägheitsmomente

Markus2309 · Gast

Meine Frage:
Hi Zusammen, es geht um folgendes Problem aus dem Buch von Nolting, Analytische Mechanik.

Ein Zylinder rollte auf der Innenfläche eines größeren Hohlzylinders ab. Bestimmen Sie zunächst die Lagrange-Funktion.

Nun gut, Lagrange-Funktion ist L = T - V mit T = kinetische Energie und V = potentielle Energie. Mich beschäftigt der kinetische Term mit der Rotationsenergie. Dazu muss man die Rotationsgeschwindigkeit des Zylinders wissen. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Zylinderquerschnitte liefert zwei Winkel. Einmal einen Winkel \phi zwischen besagter Verbindungslinie und der y-achse (hier gerade nach oben in der Ruhelage gewählt) und einen Winkel \theta der angibt, wieviel sich der Zylinder um sich selbst gedreht hat.

Daher lässt sich schließen, dass die Winkelgeschwindigkeit

ist, also die Summe beider Winkeländerungen. (Der genaue Weg wieso das gilt ist mir nicht ganz klar, ich vermute, da sich der Zylinder um sich selbst dreht und zusätzlich abrollt). Anschließend wird diese Winkelgeschwindigkeit in die Formel für die Rotationsenergie eingesetzt, mit dem Träghheitsmoment eines Zylinders, welcher sich um seine Symmetrieachse dreht.

Mein Problem:
Wenn die Erklärung für die Formel für die Winkelgeschwindigkeit stimmt, dann gehört doch zu jeder einzelnen Rotationsform ein anderes Trägheitsmoment, welches ich mit dem Satz von Huygens-Steiner berechnen muss. Dann kommt allerdings nicht die selbe Lagrange Funktion raus ( siehe mein Lösungsweg, habe beides durchgerechnet). Was habe ich hier falsch gemacht? Kann man Rotationsbewegungen nicht superpositionieren und wenn nicht, wieso nicht?

Für jede weiterhelfende Antwort bedanke ich mich jetzt schoneinmal herzlilch!

Meine Ideen:
https://abload.de/image.php?img=screenshot2022-08-221ejdob.png

hoffe der Link funktioniert, die Frage sollte aber auch so verständlich sein

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Willkommen in diesem Forum

Ich bin nicht sicher, was Du mit verschiedenen Rotationsformen mit jeweiligen Trägheitsmomenten meinst.
Die kinetische Energie kann man als Summe aus der Translationsenergie des Schwerpunkts (1. Summand) und der Rotationsenergie um den Schwerpunkt (2. Summand) sehen - der Satz von Steiner wird dann nicht benötigt:

Bei der letzten Gleichung wurde verwendet, dass

gilt. Dabei bin ich davon ausgegangen, dass bei einer Auslenkung aus der Ruhelage die beiden Winkel jeweils entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Altnernativ könnte man die kinetische Energie auch durch eine alleinige Rotationsbewegung um den momentanen Berührungspunkt zwischen den beiden Zylindern ausdrücken. Das Trägheitsmoment des kleinen Zylinders bez. dieser Drehachse ergibt sich dann aus dem Satz von Steiner zu

und man erhält die gleiche kinetische Energie wie oben:

Markus2309 · Gast

Danke für deine Antwort.
Ich habe es verstanden, ich dachte ich könne den Rotationsprozess in zwei Rotationen einteilen, einmal das Abrollen und einmal die Rotation um sich selbst (wie die Erde um die Sonne). Nur ist die kinetische Energie nicht linear, weshalb sich das anschließend nicht addieren lässt.

Magst du mir grade noch zeigen, wie du auf

kommst?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Ist der Hohlzylinder um seinen Schwerpunkt drehbar gelagert?

Markus2309 · Gast

Der Hohlzylinder ist fest, der kleiner Vollzylinder rollt auf der Innenseite des Hohlzylinders ab.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Zum Winkel: Relevant für die Rotationsenergie des kleinen Zylinders ist ja der Winkel/die Winkelgeschwindigkeit bezüglich einer raumfesten Achse. In der beigefügten Grafik wäre der Zylinder um den Winkelbetrag

ausgelenkt verglichen mit der Lage am tiefsten Punkt (theta wäre hier negativ, phi positiv). Mit Vorzeichen beträgt der Auslenkungswinkel des kleinen Zylinders

Ist eine etwas gebastelte Erklärung, aber so habe ich es versucht mir klarzumachen.

PS: Es handelt sich nur um eine Skizze, der eingezeichnete Winkel theta ist etwas zu gross geraten.

Markus2309 · Gast

Danke sehr!