Eichfreiheit magnetisches Vektorpotential

rombus · Gast

Meine Frage:
Hallo,
bei der Thematik des Vektorpotentials bin ich mir bei folgendem Punkt unsicher:

Ein Magnetfeld B lässt sich darstellen als B = nabla x A(r), wobei die Eichfreiheit gilt, also: B= nabla x A'(r) = nabla x A, mit A'= A + grad Y.

Was bedeutet es, auf das Vektorpotential A ein Gradientenfeld aufzuaddieren, ich verstehe, warum dieses Gradientenfeld im Kreuzprodukt wieder "herausfliegt" und man somit div A'= 0 bzw. rot A'= B annehmen darf, aber ich habe keine Vorstellung davon, was es bedeuten soll, auf ein Potential ein Gradientenfeld aufzuaddieren.

Vielleicht ist die Frage ein bisschen umständlich gestellt, aber leider finde ich sowohl in der Fachliteratur, als auch online keine Antwort auf diese Frage.

Vielen Dank!

Meine Ideen:
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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Diese einzelne Operation bedeutet letztlich nichts.

Ihr werdet noch die 4-dim. kovariante Schreibweise kennenlernen. Dabei lautet die Eichtransformation

Die unterschiedliche Behandlung von zeit- und raumartigen Komponenten in A ist demnach nur ein Artefakt der nicht-kovariante Schreibweise.

Am einfachsten versteht man die Bedeutung der Eichfreiheit im Vakuum. Löst man die Maxwell-Gleichungen direkt für die elektromagnetischen Felder E und B, so findet man zwei transversale Polarisationen, d.h. zwei physikalische Freiheitsgrade. Formuliert man die Gleichungen mittels der Eichfelder A, so liegen zunächst deren vier vor, d.h. vier Freiheitsgrade und somit zwei zu viel. Letztere können mittels Eichtransformationen eliminiert werden, wobei physikalisch nicht vorgegeben ist, welche beiden; dies entspricht zwei *) Eichfreiheiten.

Die Bedeutung liegt also lediglich darin, dass es teilweise mathematisch vorteilhaft ist, einen Formalismus mit zu viel Freiheitsgraden zu verwenden, diese jedoch später auf die physikalischen zu reduzieren.

*) später mehr

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Felder B und E sind gegenüber der Transformation

invariant. Dadurch hat man beispielsweise die Möglichkeit, die Maxwellgleichungen, angeschrieben in den Potenzialen A und Φ durch das Einfordern von

dermaßen zu entkoppeln, dass die Gleichung für A kein Φ mehr enthält und umgekehrt. Diese spezielle Eichung nennt man Lorentz-Eichung.

Eine andere mögliche Forderung, die Coulomb-Eichung wäre

Beide genannten Forderungen ändern nichts an den sich ergebenden Feldern, vereinfachen aber die Gleichungen für A und Φ.

Davon, dass diese Eichbedingungen tatsächlich durch ein konkretes Y befriedigt werden können, überzeugt man sich durch unmittelbares Einsetzen: Man erhält eine konkrete Wellengleichung für Y, die man lösen kann.

EDIT: TomS hat das oben aus einer höheren Perspektive beleuchtet.