Mit Hamiltonschen Gleichungen rechnen

ricardo.loco · Anmeldungsdatum: 13.01.2021 Beiträge: 8

Meine Frage:
In der klassischen Mechanik wird einem Teilchen der Masse

, das sich nur entlang der

-Achse bewegt und das sich in einem Potential

befindet, die Lagrangefunktion

zugeordnet. Wir betrachten hier das Potential des harmonischen Oszillators,

mit einer positiven Konstanten

.
(a) Geben Sie den zur Koordinate

kanonisch konjugierten Impuls

und die Hamiltonfunktion

an. Integrieren Sie die Hamiltonschen Gleichungen. Die Lösung

muss zwei freie Konstanten enthalten.
(b) Bestimmen Sie die durch die Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Bedingung

erlaubten Energiewerte

, ausgedrückt durch die Eigenfrequenz

des Oszillators.

Meine Ideen:
Dabei bezeichnet q eine generalisierte Koordinate ? im vorliegenden Fall zweckmäßigerweise einen Winkel ? und p den zugehörigen kanonisch konjugierten Impuls. Man muss also den Hamiltonformalismus verwenden, den wir hier und im Folgenden als bekannt voraussetzen. Die sogenannte Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Quantisierungsregel kann ja nicht nur auf die Bewegung im 1/r-Potential angewendet werden, sondern auch auf andere Bewegungsprobleme, die eine Hamiltonsche Formulierung zulassen und periodische Lösungen besitzen, also zum Beispiel auf den harmonischen Oszillator. Kann mir jemand sagen, wie man anhand dessen dann diese Koordinate in a) bestimmt sowie diese Energiewerte in b)

Danke!