Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb Potential

Callipso · Gast

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Die stationären, normierbaren Lösungen der KG-Gleichung lassen sich in folgender Form schreiben:

Mein Problem liegt darin, dies zu zeigen.

Meine Ideen:
Ich hab zunächst die Wellenfunktion erstmal stupide eingesetzt und zunächst nur auf den quadratischen term am Anfang angewendet:

Das hab ich dann in die Gleichung eingesetzt:

Aber wie ich damit dann zeigen soll, dass die gegebene Form von Psi ne Lösung ist, keine Ahnung, also es sit ja jetzt klar, weil ich nur noch das nabla hab, dass ich noch nen radial und nen winkelteil hab, aber wie soll ich denn zeigen, dass ich die in die gegebene Form schreiben kann?

Da es ein radiales Problem ist, fällt noch die Winkelabhängigkeit raus und ich bekomme ja dann diesen l(l+1) Term, aber das bringtm ir hier ja nix.

Kann mir jemand weiterhelfen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Doch, genau so musst du vorgehen. Du setzt ein, dein Ansatz liefert mit Y_lm den bekannten Term l(l+1), Y_lm ist also die Eigenfunktion zu Winkelanteil des Laplaceoperators und kürzt sich heraus, d.h. es bleibt die Radialgleichung.

Nun musst du zeigen, dass die stationären, normierbaren Lösungen der KG-Gleichung sich in dieser Form schreiben lassen, d.h. die DGL für die Radialgleichung explizit lösen oder anderweitig die Existenz der Lösungen beweisen.

EDIT: rechts fehlt noch die Wellenfunktion.