Fermi-Dirac Verteilung

luna20 · Anmeldungsdatum: 14.11.2020 Beiträge: 1

Meine Frage:
Guten Abend zusammen,

ich habe ein kleines Verständisproblem bezüglich der Fermi-Dirac-Verteilung.
Wenn man zum Beispiel eine gewisse Menge von Elektronen in einem Metallstück betrachtet, können diese nur bestimmte Eigenzustände einnehmen, wobei jeder dieser Eigenzustände durch den Spin maximal zweimal besetzt sein kann. Den diskreten Eigenzuständen werden diskrete Werte für Eigenenergien zugeordnet.
Auf der anderen Seite ist die Fermi-Dirac-Verteilung nicht nur für diskrete Energien zulässig, sondern für alle Werte (sprich kontinuierlich). Es erscheint mir seltsam, dass in der Verteilung quasi alle kontinierlichen Werte für die Energien zulässig sind, da im Grunde nur diskrete Energien von den Elektronen "eingenommen" werden können.

Meine Ideen:
Meine einzige Idee wäre, dass die Zahl der möglichen Eigenzustände so groß ist, beziehungsweise, dass die Eigenenergien so nah beieinander liegen, dass man näherungsweise von einer kontinuierlichen Verteilung ausgeht.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei diesem Verständnisproblem weiterhelfen könnte (gerne auch mathematisch, wenn es sich darüber einfacher klärt).
Liebe Grüße
Luna

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Vereinfacht gesprochen ist es so, dass die Schrödingergleichung eines Mehrteilchensystems festlegt, welche Zustände existieren, während die Verteilungsfunktion festlegt, welche Zustände bei einer bestimmten Temperatur mit welcher Wahrscheinlichkeit besetzt sind.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ich hatte gestern bereits eine Antwort geschrieben, dann aber noch nicht abgeschickt, da ich einerseits noch nicht ganz zufrieden, anderseits auch zu müde war, um weiter zu überlegen. Bin zwar jetzt zu spät, sende den Beitrag aber doch noch ab:

Ich erinnere mich, dass ich es gefühlsmässig auch etwas seltsam empfunden hatte, dass die Wahrscheinlichkeit von diskreten Zuständen durch eine stetige Funktion f(E) angegeben wird. Bei der Boltzmann-Statistik ist das ja ebenso.

Die Zahl der Zustände ist in der Tat hoch, und die Energieniveaus liegen nahe beieinander. Dass die Fermi-Dirac-Verteilung kontinuierlich ist, hat aber nichts damit zu tun. Diese gibt ja lediglich die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Zustand der Energie E bei einer Temperatur T besetzt ist, unabhängig davon, welche Niveaus möglich sind (vgl. aber weiter unten).

Die diskreten Energieniveaus und die Zustanddichte D(E)=dN/dE ergeben sich, wenn man die Schrödinger-Gleichung löst, beim Fermi-Gas der Leitungselektronen in einem Metall z.B. für einen 3dim. Kasten der Länge L. Die Dichte der tatsächlich besetzten Zustände ist dann gleich dem Produkt D(E)*f(E) (allenfalls noch mit Faktor 2 für die Spineinstellungen, falls dieser noch nicht in D(E) enthalten ist). In einem Punkt hängt die Fermi-Dirac-Verteilung allerdings von den Energieniveaus ab, denn das Integral muss ja wieder die Gesamtzahl der Teilchen/Leitungselektronen ergeben:

Durch diese Gleichung wird das chemische Potential

in der Funktion f(E), in manchen Büchern auch als temperaturabhängiges Fermi-Niveau

bezeichnet, festgelegt. Vielleicht kann gerade dieser letzte Zusammenhang helfen, etwas Klarheit zu schaffen.