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Verändert sich Vektorlänge bei Parallelverschiebung?
 
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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
Beitrag Corbi Verfasst am: 03. Nov 2020 18:02    Titel: Verändert sich Vektorlänge bei Parallelverschiebung? Antworten mit Zitat
Verändert sich die Länge es eines Vektors bei einer Parallelverschiebung auf einer Mannigfaltigkeit?
Mein Ansatz um das zu Überprüfen ist folgender

Bei einer Parallelverschiebung um dx eines Vektors A ändern sich im Allgemeinen die Komponenten eines Vektors um:


der um dx verschobene Vektor ist also gegeben durch:


Die Länge von ist:


damit müsste also gelten:

weiter bin ich noch nicht gekommen

Behalten Vektoren bei der Parallelverschiebung also ihre Länge oder nicht?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
Beitrag index_razor Verfasst am: 03. Nov 2020 19:28    Titel: Re: Verändert sich Vektorlänge bei Parallelverschiebung ? Antworten mit Zitat
Corbi hat Folgendes geschrieben:
Verändert sich die Länge es eines Vektors bei einer Parallelverschiebung auf einer Mannigfaltigkeit?


Streng genommen ist die Frage nicht ganz eindeutig gestellt, da es beliebig viele Vorschriften zur Parallelverschiebung gibt.

Aber, normalerweise bleibt die Länge konstant. Normalerweise verwendet man auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten nämlich eine Vorschrift zur Parallelverschiebung, die auf der Existenz einer eindeutigen torsionsfreien und metrikverträglichen kovarianten Ableitung basiert. (So auch in de ART, um die es dir vielleicht im besonderen geht.) Man nennt diese kovariante Ableitung den Levi-Civita-Zusammenhang. Die Metrikverträglichkeit bedeutet, daß der metrische Tensor "kovariant konstant" ist, also gilt. Dies hat zunächst zur Folge, daß für die kovariante Ableitung von Skalarprodukten eine einfache Produktregel gilt



Und daraus ergibt sich insbesondere, daß Parallelverschiebung die Länge von Vektoren nicht ändert.

Wenn nämlich der Tangentialvektor an die Kurve ist, entlang deren parallelverschoben wird, dann ergibt die Produktregel



Parallelverschiebung von entlang bedeutet aber , also



Man kann es natürlich auch in Koordinaten beweisen, wie du es vorhast. Aber durchgeführt habe ich die Rechnung auf diese Art nicht. Du müßtest aber zumindest berücksichtigen, daß sich die Metrikkoeffizienten ebenfalls entlang der Kurve ändern können. Die Länge von A am Ort , wäre also gegeben durch



Die Metrikverträglichkeit ergibt dann eine Bedingung an



etc., die an irgendeiner Stelle eingehen wird.
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