Bremsvorgang mit Energieansatz vs. DGL

ammoniumnitrat · Anmeldungsdatum: 07.05.2020 Beiträge: 1 Wohnort: Boppard

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte den Bremsweg einer Maschine ausrechnen. Sie hat zum Zeitpunkt

die Ausgangsgeschwindigkeit

. Sie wird gebremst von einer konstanten Kraft

(Summe aus Rollwiderstand, Hangabtriebskraft, ggfs. mechanische Bremskraft) und einer konstanten Bremsleistung

. Die reduzierte Maschinenmasse beträgt

. Gesucht ist der Weg bis zum Stillstand.
Beim Thema Differentialgleichungen tun sich beim mir leider doch gewaltige Lücken auf, die ich gerne im Rahmen dieser Aufgabe zu schließen beginnen würde.
Bin sehr froh, wenn neben einer Lösung mal grundsätzlich Ordnung in den Schädel kommt. Danke schonmal!

Meine Ideen:
Ich habe mit mehreren Ansätzen rumgebastelt, bin aber nirgends zum Ziel gekommen. Hängt es am Ansatz oder an der Ausführung?

Ansatz 1 - Bewegungsgleichung:

mit der Anfangsbedingung

Der Exponentialansatz

war ziemlich schnell Schluss, da sich der Term

nach Einsetzen der Ableitungen nicht herauswerfen lässt. Dürfte eh falsch sein?

Dann habe ich den Weg über Trennung der Variablen / Variation der Konstanten probiert.

mit

ergibt sich

Hier beginnen bereits meine Probleme mit der Umstellung.

Wie vereinfache ich das weiter? Der Umgang mit den Differentialoperatoren verwirrt mich immer wieder.
Oder ist sowieso der Ansatz falsch?

Ansatz 2 - Energieansatz

Und da hört es auch schon wieder auf. Welche Randbedingung habe ich noch übersehen?

Ansatz 3 - a = a(v)
Diesen Ansatz habe ich in einem Buch für technische Mechanik aufgeschnappt.
mit

und

und umgestellt aus der Bewegungsgleichung

Daraus ergibt sich

sowie

Die Integrationsgrenzen sind

und

. Hier tue ich mich schwer, das Integral zu bilden. Ist mir fast ein bisschen peinlich. Fast. :-D
Danke im Voraus!

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2903 Wohnort: München

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

Homogenisieren

Ab hier nach Vorschlag von jh8979:

Aufgabe ist lösbar - nur noch Rechnerei. Wer Zeit und Lust hat kann ja weitermachen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Ich denke am einfachsten ist es die DGL mit x-Punkt zu mulitplizieren und zu erkennen, dass

.

Substitution und Separation der Variablen führt dann zu einem Integral der Form

. Ist jetzt auch nicht supereasy, aber läßt sich nachschlagen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Ist übrigens die gleiche Rechnung, wenn ich hier starte