Dynamik von Massepunkten

FPhysik · Anmeldungsdatum: 23.04.2020 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

4 Ameisen sitzen auf einem Quadrat mit den Kantenlängen 20cm (z.B. A sitzt auf Punkt 10/0 & B auf 10/10 usw.)
Sie bewegen sich mit Geschwindigkeit v=1 cm/s.
Die Ameisen bewegen sich nun jeweils zu ihrem Nachbarn (gegen Uhrzeigersinn).
Man soll die Bahnkurven für die Ameisen berechnen, sowie die Dauer, bis sie sich treffen.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist bisher, dass es sich um eine logarithmische Spirale handelt und die Ameisen sich im Mittelpunkt treffen werden.

Allerdings fehlt mir der weitere Weg.

Über Hilfe würde ich mich freuen.
Viele Grüße smile

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Wie wäre es mit folgendem Ansatz:

Angenommen Ameise 1 hat die Koordinaten r=(x,y), so hat die Nachbarameise im Quadrant nebenan aus Symmetriegründen die Koordinaten r2 = (-y,x). Dies entspricht einer Drehung um 90°. Wenn Ameise 1 auf die Ameise 2 zuläuft, ist der Geschwindigkeitsvektor:

v = r2 - r = (-x-y, x-y)

(ohne Einheiten)

Die Bewegungsgleichung lautet also:

dr/dt = v bzw.

dx/dt = -x - y
dy/dt = x - y

Oder als Matrix geschrieben:

Die formale Lösung wäre also:

r(t) = e^(A*t) b

mit einem konstanten Vektor b. Hilft das erstmal weiter?

Viele Grüße,
Nils

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Ich komme mit meinem Ansatz von oben auf:

Kann das jemand bestätigen?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Ok, 2. Versuch:

Im obigen Ansatz war noch der Fehler, dass zwar die Richtung von v zwar richtig war, aber noch nicht der Betrag. Laut Aufgabenstellung ist die Geschwindigkeit stets konstant, man muss im oben Ansatz also v noch normieren. Man erhält:

v = [-x -y; x-y] / sqrt(2x² + 2y²) *v0

[a;b] soll hierbei die Schreibweise für einen Vektor mit den Elementen a und b sein und v0 der Betrag der (konstanten) Geschwindigkeit.

Setzt man x = r*cos(phi) und y = r*sin(phi) ein, dann kürzt sich r weg und man erhält die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:

v = v0/sqrt(2) [-cos(phi) - sin(phi); cos(phi) - sin(phi)]

Dies muss gleich der zeitlichen Ableitung der Bahnposition [r*cos(phi); r*sin(phi)] sein. Wir leiten also ab und setzen dies komponentenweise mit dem Ausdruck für v gleich. Es folgt:

(Ich mach mal mit dem Formeleditor weiter)

Da diese Gleichungen für beliebige Winkel phi gelten müssen, müssen die Koeffizienten von sin und cos jeweils identisch sein. Es gilt also:

und

Mit der Anfangsbedingung r(0) = r0 folgt:

Sowie:

Ich denke, so müsste es passen.

Viele Grüße,
Nils

Edit:
Sieht ganz vernünftig aus:

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

Ich komme mit meinem Ansatz auf eine ähnliche Lösung. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass ich die Ameisen von den Ecken des Quadrates starten lasse und nicht von der Mitte der Kanten. (FPhysik sollte nochmal klarstellen, wo die Startpunkte tatsächlich liegen sollen.) Damit kann ich die Gleichung für die Kantenlänge des Quadrates sofort hinschreiben

Für die Winkelgeschwindigkeit gilt

und die Integration ergibt den Winkel

wobei

der individuelle Startwinkel der jeweiligen Ameise ist.

Das ergibt die Bewegungsgleichungen

Das Ergebnis sieht dann so aus:

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

So wie ich das sehe, sind unsere Lösungen im Prinzip unabhängig von den Startbedingungen und damit im Grunde identisch. Je nach Startbedingung muss der Startradius r0 in meiner Lösung bzw. der Parameter L0 in deiner Lösung einfach entsprechend gewählt werden. Starten die Ameisen z.B. an den Ecken des Quadrats ist r0 = L0/sqrt(2) und ich erhalte dein Ergebnis.