Zwei Räder an Achse, Zwangsbedingungen, Lagrange-Gleichung 1

ok2105 · Anmeldungsdatum: 31.05.2017 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo zusammen,

da die Klausurenphase immer näher kommt, rechne ich aktuell einige Altklausuren und bin dabei auf diese Aufgabe gestoßen. (Der Originalaufgabentext ist in den Bildern zu finden. Leider kann ich am Tablet den Formeleditor nicht richtig verwenden, weswegen ich es leider anders bewerkstelligen musste)

Zwei Raeder mit Radius r seien im Abstand von 2R auf einer Achse montiert. Die Raeder seien unabhängig voneinander drehbar. Diese Anordnung rolle rutschfrei und ohne Rollreibung oder Luftwiderstand auf einer horizontalen Ebene.

Beschreiben Sie die Bewegung mit den verallgemeinerten Koordinaten x, y, Phi und Theta, wobei x und y die Schwerpunktskoordinaten seien, Phi die
symmetrische Kombination der Radwinkel Phi_{1} und Phi_{2} ist, Phi=0,5(Phi_{1} + Phi_{2}) , und Theta proportional
zur antisymmetrischen Kombination sei, Theta= (r/2R)(Phi_{1} - Phi_{2}) .

Formulieren Sie die zwei zugehoerigen (nichtholonomen) differentiellen Zwangsbedingungen. Berechnen Sie die moeglichen Bewegung
des Systems durch Anwendung der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art und beschreiben Sie alle
moeglichen Radspuren.

Die Traegheitsmomente I_{Phi} und I_{Theta} seien vorgegeben.

Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein, weiß ich nicht so recht einen Ansatz zu finden. In einfacheren Beispielen haben wir zwar bereits einiges mit nichtholonomen Zwangsbedingungen und Lagrange 1 gemacht, allerdings schaffe ich es nicht dieser Ergebnisse auf die Aufgabe hier zu übertragen.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen und mir einen kleinen Tipp geben kann.

Lagrange_Joker · Gast

hallo ok2105,
Ich sitze gerade auch an dieser Aufgabe und habe bereits folgenden Ansatz:
Betrachte zuerst die Geschwindigkeit des Schwerpunkt des Gesamtsystems.

Für diesen gilt betragsmäßig: [latex] {v_s}= \frac{{v_1}+{v_2}}{2}= r \cdot \dot{\phi} [\latex]

Komponentenweise gilt für die Geschwindigkeit des Schwerpunkts dann:
[latex] \dot{x}= |v_s| cos(\theta) sowie \dot{y}= |v_s| sin(\theta) [\latex]

Insgesamt folgt dann also:

[latex] \dot{x}- r \dot{\phi} cos(\theta)= 0 [\latex]
[latex] \dot{y}- r \dot{\phi} sin(\theta)= 0 [\latex]

Sind das dann nicht schon unsere gesuchten Zwangsbedingungen in verallgemeinerten Koordinaten? Wenn ja, wie geht es dann weiter?
Wäre über eine Hilfestellung und Lösungsansätze sehr erfreut.