Physikalische Bedeutung der Eigenwertentartung

Namenloser324 · Gast

Hallo,

meine Frage steht so ziemlich schon im Titel:
Ich habe jetzt bin schon häufiger bei der Lösung der Schrödinger-Gl. (im Lehrbuch) auf Entartung von Eigenwerten gestoßen. Mir ist aber immernoch unklar, was es physikalisch bedeutet, wenn ein Eigenwert entartet ist, d.h. wenn es zum selben Eigenwert mehr als eine Eigenfunktion gibt.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bei gleicher Energie müssen die Unterschiede bei anderen Observablen liegen, beispielsweise dem Drehimpuls.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Wenn zu einem Energieeigenwert E mehrere entartete Eigenzustände vorliegen, also

mit einem kontinuierlichen oder diskreten Index a, dann wird die Präparation des Systems in einen Zustand zu dieser Energie E keinen eindeutigen Zustand hervorbringen; das System wird vielmehr in einer Superposition

vorliegen.

Bei einer Messung der Observablen E alleine wird diese Entartung nicht aufgehoben, d.h. man erlangt keine weitere Kenntnis.

Oft liegt einer derartigen Entartung eine Symmetrie zugrunde. Z.B. sind bei freien Teilchen die ebenen Wellen

entartet; die Energie lautet

mit dem Impuls

Dabei steht p² für das Quadrat des Impulsvektors p in drei Dimensionen. Die zugrundeliegende Symmetrien sind die Rotations- sowie Translationssymmetrie des Problems, d.h. Rotationen R

ändern die Wellenfunktion nicht, Translationen ändern die Wellenfunktion nur um eine globale (und physikalisch irrelevante) Phase

Die Generatoren der Symmetrien als quantenmechanische Operatoren vertauschen mit H. Im vorliegenden Fall erzeugen der Drehimpuls L sowie der Impuls p die Rotationen bzw. Translationen; H ist invariant unter diesen Transformationen, d.h.

Damit sind die o.g. Unterräume |E,a> Darstellungen der entsprechenden Symmetrie.

Z.B. entspricht die unitäre Transformation U des Zustandes |E,k> einer Rotation im Ortsraum und damit einer Rotation R des Vektors k: