Fermi-Gas im Zwei-Niveau-System

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Meine Frage:
Hallo,

betrachten Sie wechselwirkungsfreie Fermionen in einem Zwei-Niveau-System, d.h. jedes Fermion soll nur eines der zwei Energieniveaus

besetzen können.

a) Berechne die großkanonische Zustandssumme

b) Wie groß ist die mittlere Besetzungszahl

für die beiden Zustände?

c) Berechne die Entropie

.

Meine Ideen:
Zu a): Prinzipiell muss ich hier nur Kombinatorik betreiben, oder nicht?

ich habe eine konkrete Formel zur Berechnung der Zustandssumme gefunden:

Muss ich nun noch

einsetzen?? Diesen Ausdruck kann ich aber nicht näher berechnen.

Zu b) Die mittlere Besetzungszahl lautet definitionsgemäß

, wobei

gelten sollte.
Allerdings komme ich auch hier nicht weiter, da ich die Lösung aus a) benötige.

Zu c): Für die Entropie gilt:

, benötige auch hier die Lösung aus a).

Ich hoffe, ihr könnt mir behilflich sein!

Viele Grüße
Widderchen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

weil ich nicht weiß, was

ergibt?

Viele Grüße
Widderchen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Was wäre die Summe denn für ein Teilchen? Was für zwei? ...

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

für ein Teilchen:

für zwei Teilchen:

Moment, ich merke gerade, dass die Summe:

lauten muss.
Allerdings hilft mir das nicht viel. grübelnd

Viele Grüße
Widderchen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Nur damit ich das richtig verstehe: Die Summe erfolgt über den Index i. Dieser Index ist ein nach unten gestellter Index und befindet sich an der Teilchenzahl N. Wenn ich nun die Summe über alle i bilde, dann erhalte ich doch auch den bereits aufgestellten Ausdruck.

Aber vermutlich soll N selbst der Laufindex sein, das bedeutet also mir liegt eine Potenzreihe vor mit dem Grenzwert:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Was bezeichnet denn der Index i?

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Vielleicht den Mikrozustand i ?
Die Formel hatte ich auf der Wikipedia-Seite gefunden.

Viele Grüße
Widderchen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Du solltest verstehen was die Formel aussagt.... ansonsten kannst Du rein gar nichts rechnen...

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

in integraler Schreibweise wird die Summe (siehe Wikipedia-Artikel zu "Zustandssumme") auch über die Teilchenzahl N ausgeführt.

Für die Zustandssumme erhalte ich:

Für die mittlere Besetzungszahl erhalte ich:

Für die Entropie ergibt sich dann:

.

Ich hoffe, diese Resultate stimmen soweit.

Viele Grüße
Widderchen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Nein das ist nicht richtig. Es müsste das hier rauskommen
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi–Dirac_statistics#Fermi.E2.80.93Dirac_distribution

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.
Was besagt denn der Index i nun eigentlich? grübelnd

Handelt es sich hierbei nun um die Anzahl der Teilchen oder um die Anzahl der Mikrozustände bzgl. der Teilchenanzahl

??
Ist der Ansatz über die geometrische Reihe korrekt?

Viele Grüße
Widderchen