Fixpunkte eines Systems finden

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Hallo liebe Physiker,
ich muss für ein System Fixpunkte finden. Das System beschreibt sich durch

und

Jetzt ist es das erste Mal das ich solche Fixpunkte finden will, und generell verstehe ich das auch nur insofern (hab ich irgendwo in Erfahrung gebracht), dass gelten muss f(b)=b zum Beispiel.
Also der Punkt den man einsetzt muss auch wieder rauskommen.
Daher glaube ich ein Fixpunkt hier ist (x , y) = (0 , 0).
Aber das ist auch nur geraten.
Wie mache ich weiter?
Also welchen Ansatz muss ich jetzt nehmen?
Welche Punkte gibts noch?

Mit freundlichen Grüßen
cryse

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Okay, vielen Danke erstmal!
Das heißt, mein einziger Fixpunkt wäre (0,0) ?

Mfg
cryse

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

4?

Wenn ich jetzt mir überlege, wann die Gleichung für

= 0 wird, dann is das nur bei x=0 oder bei x=1 mit y=a/b so. Aber das y muss ja auch gleichzeitig für die andere Gleichung

gelten, also hätte ich da son Quark stehen wie:

Also irgendwas ist grundsätzlich falsch.

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Kannst du mir evtl. einen weieren Fixpunkt als Hinweis geben? Ich komm überhaupt nicht voran.

Mfg
cryse

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Wenn y=a/b ist kannst, folgt nicht x=1 aus der ersten Gleichung.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Das DGL-System lautet

Die Bedingung für einen Fixpunkt entspricht dem Verschwinden der ersten Ableitung.

Ausklammern liefert

Und damit kann man doch vier Kombinationen identifizieren, so dass die erste und die zweite Gleichung erfüllt sind.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Noch ein Hinweis: Das beschriebene System heißt Lotka-Volterra-System und beschreibt Räuber-Beute-Dynamik. Das ist ein Standardbeispiel. Anschaulich ist klar: Es gibt zwei Fixpunkte, nämlich (i) es sind wenige Beutetiere da, ohne Fressfeinde werden die Kinder kriegen und Alterstod ist im System nicht vorgesehen; oder es sind wenige Räuber da, die haben dann nichts zu fressen und sterben, Kinderkriegen ist nicht vorgesehen; es wird also ein hyperbolischer Fixpunkt sein. (ii) Fressgleichgewicht, Abweichungen werden sich schon regulieren, das ist genau der Fall, den man auch im Biounterricht behandelt [erwartet wird also ein elliptischer Fixpunkt].
Eine vollständige Analyse findest du zum Beispiel im Königsberger/Analysis 2, daneben aber auch an tausend anderen Stellen.