Matrix eines Spannungstensor aufstellen

Overkill · Anmeldungsdatum: 30.05.2012 Beiträge: 3

Hallo,

Folgendes ist der Fall: Ein kubischer Körper mit der Kantenlänge

wird mechanisch in z-Richtung mit

und durch ein den Körper umgebendes Gas in x- und y-Richtung mit

belastet (In einem Kartesischen Koordinatensystem).

Nun soll ein Spannungstensor aufgestellt werden. Zur Übung und Selbstüberprüfung wäre es nett, wenn jemand die folgenden Behauptungen widerlegen oder bestätigen und dazu vielleicht einen kurzen Satz schreiben könnte.

1) Die Kräfte sind orthogonal zu den Flächen des Körpers gerichtet, daher treten lediglich Normalspannungen auf, jedoch keine Scherspannungen.

2) Da

, also

, lässt sich der Spannungstensor nun aufstellen:

bzw.

und

demnach lautet der Spannungstensor:

3) Schubspannungen in Flächen, die orthogonal zueinander sind, haben den selben Betrag. Daher hat ein Spannungstensor nur 6 unabhängige Werte anstatt 9. Der Spannungstensor ist daher

symmetrisch.

4) Würden die Kraftvektoren nicht orthogonal zu den Flächen sein, träten zusätzlich Scherspannungen auf.

Durch die Berechnung der Eigenwerte der Matrix

können die drei Hauptspannungen berechnet werden. Der Spannungstensor hat dann die allgemeine Form:

Ich würde mich über jede Antwort freuen und bedanke mich schonmal.