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Nachricht |
darki
Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 236
Wohnort: Gehren
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 darki Verfasst am: 12. Okt 2005 15:31 Titel: Eine Kette fällt auf einen Tisch |
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Ich hab hier mal ne kleine Aufgabe, bei der ich nich weiterkomme ... vielleicht findet ja jemad, wo mein Fehler ist.
Geben ist eine Kette der Länge L und der Masse M. Die Glieder der Kette sind unendlich klein -> man kann davon ausgehen, dass der Vorgang linear abläuft.
Die Kette wird so gehalten, dass sie mit dem einen Ende gerade den Tisch berührt; dann wird sie zum Zeitpunkt t=0 losgelassen.
Gesucht ist bei der Aufgabe eine Funktion F(t), wobei F die Kraft ist, mit der die Kette auf den Tisch wirkt.
Als erstes ist klar, diese Kraft setzt sich aus der Gewichtskraft (Fg) des Kettenstückes, welches schon auf dem Tisch ist, und der Kraft beim Abbremsen (Fb) eiens jeden Kettengliedes beim Auftreffen auf den Tisch zusammen setzt.
Dann sollte für Fg gelten:
s ist die Länge es Stückes, welches schon auf dem Tisch liegt:
Daraus ergibt sich für die Gewichtskraft in Abhängigkeit von der Zeit folgende Funktion:
 = \frac{M}{L}\cdot \frac{g^{2}}{2}\cdot t^{2})
Für die fallende Seite ergibt sich eine Änderungen des Impulses duch Krafteinwirkung:
Beim Addieren der beiden kommt letztendlich
 = M\cdot g)
raus, was aber erst wenn s>=L eintreten dürfte...
Die Lösung meines Lehrers hierfür is
= \frac{M}{L}\cdot \frac{3}{2}\cdot g^{2}\cdot t^{2}) .
Wobe ich im Moment nicht sehe, wo ich wahrscheinlich nen falschen Ansatz gewählt oder Falsch umgeformt habe.
plz help me, if you can!
greetz
DaRkI |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 12. Okt 2005 16:03 Titel: Re: Eine Kette fällt auf einen Tisch |
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| darki hat Folgendes geschrieben: | Die Lösung meines Lehrers hierfür is
. |
Ist das wirklich die Gesamtkraft? Ich hab' grad' mal auf die Schnelle versucht das zu lösen, und habe diesen Term für die Kraft die durch die Impulsänderung hervorgerufen wird. Kann aber auch ein Fehler meinerseits sein, muss ich dann nochmal durchsehen. Ich schau mir dann auch nochmal deine Lösung an.
_________________
Formeln mit LaTeX |
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darki
Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 236
Wohnort: Gehren
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| darki Verfasst am: 12. Okt 2005 16:11 Titel: |
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hm ja, hab ich mir so notiert..
kann auch sein, dass er da was durcheinander gebracht hat, aber er hat diese lösung schon 2mal vorgelesen.. also nen einfacher lesefehler/abschreibfehelrheit nciht.
thx für die mühen |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 13. Okt 2005 16:17 Titel: |
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@darki
In einem gegebenen, kurzen Zeitabschnitt  fällt die Masse
auf den Tisch und wird dort von der Geschwindigkeit v>0 auf v=0 abgebremst.
Dabei wird auf den Tisch der Impuls
und damit die Kraft
übertragen.
Also stimmt die Formel deines Lehrers für die Gesamtkraft.
Dein Fehler scheint mir in deiner Annahme für  zu liegen.
Du nimmst an, das es sich dabei um die gesamte Masse des Teils der
Kette handelt, der noch nicht auf dem Tisch liegt. Das ist aber falsch!
Gruß von Bruce |
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darki
Anmeldungsdatum: 03.10.2005
Beiträge: 236
Wohnort: Gehren
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| darki Verfasst am: 13. Okt 2005 16:35 Titel: |
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ah ja!
so geht das auch mit der betrachtung O.o
ich hab immer den rest der kette als masse angenommen ~.~
aber man muss wohl nur jeweils das glied annehmen, was da grade abgebremst wird (irgendwie auch logisch ^^)
komm dann jetzt auch auf das ergebnis ;-)
much thx bruce!!! |
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SirZampano
Anmeldungsdatum: 26.04.2014
Beiträge: 21
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| SirZampano Verfasst am: 26. Apr 2014 15:54 Titel: |
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Hallo,
Ich habe die gleiche Aufgabe und bin bei der Suche auf diesen Thread gestoßen. Zu meiner Frage:
Also auf die Kraft der einzelnen Glieder kam ich auch, aber wie berechne ich nun die Gesamtkraft?
Und ich soll auch noch beweisen, dass die maximale Gesamtkraft das dreifache der Gewichtskraft der Masse der gesamten Kette ist, aber bei der Ableitung der Kraft kommt ja als Nullstelle t=0 raus, was die ganze Formel =0 werden lässt. Ich stehe auf dem Schlauch
viele Grüße |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 27. Apr 2014 11:31 Titel: |
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| SirZampano hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe die gleiche Aufgabe und bin bei der Suche auf diesen Thread gestoßen. |
Das finde ich gut, leider machen das recht wenige... 
| SirZampano hat Folgendes geschrieben: | | Also auf die Kraft der einzelnen Glieder kam ich auch, aber wie berechne ich nun die Gesamtkraft? |
Naja, eigentlich steht in dem Thread ja schon alles. Die Gesamtkraft ist:
\cdot \frac{\mathrm d m_\text{frei}}{\mathrm d t})
Mit:
 &=& gt
<br />
s(t) &=& \int_0^t v(\tau)\,\mathrm d \tau = \frac 1 2 gt^2
<br />
m_\text{Tisch} &=& \frac M L \cdot s(t) = \frac 1 2 \frac{Mg}{L}t^2
<br />
m_\text{frei} &=& M - m_\text{Tisch} = M - \frac 1 2 \frac{Mg}{L}t^2
<br />
F_\text{G} &=& m_\text{Tisch} \cdot g
<br />
\frac{\mathrm d m_\text{frei}}{\mathrm d t} &=& \frac{Mg}{L}t)
Wenn man alles zusammen schraubt, bekommt man das oben angegebene Endergebnis mit dem 3/2 als Vorfaktor.
| SirZampano hat Folgendes geschrieben: | | Und ich soll auch noch beweisen, dass die maximale Gesamtkraft das dreifache der Gewichtskraft der Masse der gesamten Kette ist, aber bei der Ableitung der Kraft kommt ja als Nullstelle t=0 raus, was die ganze Formel =0 werden lässt. |
Ja, das stimmt... Das ist aber das Minimum.
Das Problem ist, dass genau genommen die Kraft auf den Tisch nicht stetig ist: Nachdem die gesamte Kette auf der Platte angekommen ist, ist der zweite Summand in Fg schlagartig 0. Beim letzten "Glied" ist er aber noch doppelt so groß, wie der erste Summand. Streng genommen muss man also die Funktion so schreiben:
 = \begin{cases}t<T & F_\text{G}(t) + \frac{\mathrm d p}{\mathrm d t} \\ t>T & F_\text{G}(T) = Mg\end{cases})
Mit:
 = L \Leftrightarrow \frac 1 2 gT^2 = L\Leftrightarrow T=\sqrt{\frac{2L}{g}})
Der Trick mit Extremstellen über Ableitung = 0 zu finden, geht nur wenn die Funktion differenzierbar ist, wobei diese hier eben noch nicht einmal stetig ist.
Gruß
Marco |
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SirZampano
Anmeldungsdatum: 26.04.2014
Beiträge: 21
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| SirZampano Verfasst am: 27. Apr 2014 18:18 Titel: |
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Jetzt ergibt das Sinn für mich 
Ich glaube ich bin noch ein wenig zu sehr in den Schulmustern was Minima und Maxima angeht.
Vielen Dank |
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