Eigenwertspektrum kontinuierlich?

Landauniveau · Gast

Ich habe folgenden Operator gegeben:

Jetzt soll das Energiespektrum dieses Hamiltonoperators angegeben werden. Dazu soll man annehmen, dass das Spektrum kontinuierlich sei.

Musterlösung:

Daraus folge, dass

ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten c besitze, sodass:

Ich verstehe das nicht ganz.

Wie steht der Kommutator mit den Eigenwerten in Zusammenhang (ich weiß nur, dass kommutierende Operatoren ein gemeinsames System von Eigenzuständen besitzen, z. B. Hamiltonoperator des harm. Oszillators und der Besetzungszahloperator) und wie kam man jetzt auf dieses Ergebnis? Ich wäre ja so vorgegangen:

Und dann? Doch nicht einfach:

Und dann den Impulsoperator mit c ersetzen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

m.E. reicht der Kommutator nicht aus, wichtig ist auch der Hilbertraum. Auf dem L²[a,b] mit kompakten Intervall [a,b] bzw. dem Kreis wäre das Spektrum diskret.

Landauniveau · Gast

Also in der Aufgabenstellung war bereits angegeben, dass man annehmen solle, dass das Spektrum kontinuierlich ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Landauniveau · Gast

Ok, hier mal ein Foto der gesamten Aufgabenstellung:

s1.directupload.net/images/120704/oh3t3et8.png

(Link kopieren und manuell in Adresszeile einfügen, kann als Gast keine Bilder anhängen).

Es geht um die c)

Meine Lösungen für die a:

Bzw., wenn man die Rotation in b berechnet um die Komponenten von

rauszukriegen:

Jetzt sollte es vollständig sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

wie kommst du auf

Landauniveau · Gast

Weil

ist. Rechne mal:

Das ergibt:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Du hast recht - und ich versteh' die Aufgabenstellung nach wie vor nicht, denn in z-Richtung ergibt sich einfach eine ebene Welle; kann es so einfach sein?

Schau mal hier: http://www.uni-tuebingen.de/faessler/Physik3neu/QM1_5.pdf