Harmonischer Oszillator ausgehend von zwei verbundenen Atome

Ron F. · Gast

Hey,

wir hatte in der Vorlesung folgendes Beispiel. Zwei Atome z.B. HCl sind anschaulich durch eine Feder verbunden, welche die Bindung charakterisiert. Dafür haben wir den Hamiltonoperator aufgeschrieben:

Nun haben wir das Beispiel irgendwie über die reduzierte Masse und einen massengewichteten Impuls auf die Standardform:

zurückgeführt. Leider kann ich einen Teil meiner Aufzeichnungen nicht mehr finden, was ich noch da stehen habe ist:

und

Eventuell hat das ja schon mal jemand gemacht und kann mir helfen.

Danke schon mal!

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du beschreibst das Problem einfach anstatt durch die alten Koordinaten

,

mit neuen, nämlich durch die relativ Koordinate

und durch den Schwerpunktkoordinate

.

Jetzt kannst du mal zum besseren Verständnis

und

jeweils durch

und

ausdrücken... wenn du weiter daraus die Impuls

und

berechnest und diese Ausdruck in die kinetische Energie einsetzt kannst du diese umschreiben zu:

Wobei

der Gesamtimpuls mit der Gesamtmasse

ist, und die relativ Bewegung durch den Impuls

mit der reduzierten Masse

beschreiben wird.

Durch diese Transformation ist der Hamiltonoperator separabel in Schwerpunkts- und Relativbewegung, wobei die Schwerpunktsbewegung nicht weiter von Interesse ist, da diese der eines freien Teilchen entspricht.
Es bleibt also damit

und somit ein effektives Einteilchen-Problem.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Es gibt übrigens auch eine quantenmechanische unitäre Transformation, die das selbe leistet; man kann also auch zuerst in den Eintzeilchen-Koordinaten quantisieren und anschließend diese Transformation im Hilbertraum durchführen.

_Anfänger_ · Gast

_Anfänger_ · Gast

Ich habe das kleine r vergessen:

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Im Schwerpunktsystem

und

kommt man sofort zu

und der kinetischen Energie

bei reduzierten Mass m.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Aus deinen Gleichungen folgt:

mit

. Damit folgt

mit