Zwangskräfte

Lero · Gast

Meine Frage:
Guten Tag,

ich habe folgendes Problem:

Ein Massenpunkt bewegt sich auf der Fläche z=xy-x^2+y unter der Wirkung der Schwerkraf. Stellen sie die Bewegungsgleichungen auf, zeichnen Sie die Trajektorie anfangsbedingungen Ort und Geschwindigkeit=0.

kann mir jemand bitte einen tipp geben, wie ich von hier aus weiterkomme?

Meine Ideen:

Zwangskraft:
f(x,y,z)=z-xy-x^2+y

-> Fz=\lambda*grad(f)
-> Fz=\lambda*((-2x-y))e1+(1-x)e2+e3)

Bewegungsgleichungen:

m*x''=\lambda*(-2-y)*e1
m*y''=\lambda*(1-x)*e2
m*z''=\lambda*e3-m*g*e3

nun muss ich ja lambda ersetzen irgendwie
z.B.
\lambda=(m*y'')/(1-x) und nun müsste ich f(x,y,z) zweimal ableiten und da einsetzen um mit den bewegungsgleichungen irgendwie ein bestimmtes \lambda zum einsetzen zu bekommen, leider ist mir nicht so richtig klar wie ich das mache da f(x,y,z) ja von mehreren variablen die ich auch nach t ableiten müsste abhängt und ich so ja nichts eliminieren kann?. In der Vorlesung gab es nur ein beispiel wo das alles ziemlich einfach ging(schiefe ebene)

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Die Bewegungsgleichungen hast du ja schon aufgestellt. (Übrigens Einheitsvektoren sollen da nicht sein, da es keine Vektorgleichungen sind.)

Die Frage ist, ob du nun die Trajektorie zeichnen kannst ohne diese zu Lösen. Wenn du das nicht kannst, dann muss du sie Lösen.
Schau dir die ersten beiden Gleichungen an. Sie hängen gar nicht von z ab.
Wenn du die erste Gleichung zwei mal ableitest und dann für y'' zweite Gleichung einsetzt, bekommst du eine gewöhnliche DGL mit nur x als Variable, die du dann lösen kannst. Das ist zwar nicht die eleganteste Methode, aber die einfachste, da man kein extra Wissen benötigt. Behandle Lambda einfach als eine Konstante.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Die zweite Zeitableitung von f ist weniger das Problem. Üblicherweise bleiben dann die

usw., die man ja von den LAGRANGEgleichungen her einsetzen kann zur Bestimmung von \lambda. Hier treten in der Lösung jedoch Terme wie

auf ...

Lero · Gast

leider ist mir noch nicht klar, wie ich hier jetzt vorgehe, ich kann doch y'' aus der f(x,y,z) gleichung nicht so einfach gewinnen, weil da die anderen terme noch drin vorkommen?

sprich ich habe doch: z'=xy'-(x^2)'+y'

und komme somit nicht auf ein unabhängiges y'' ?