Bedeutung des Potentials

Harmony · Anmeldungsdatum: 01.12.2007 Beiträge: 3

Hallo zusammen!

Wie die Wellenfunktionen aussehen, die ich als Lösungen der Schrödingergleichung erhalte, hängt stark von dem Potential V(r, t) ab, das im Hamilton-Operator auftaucht. Welche (anschauliche) Bedeutung hat das Potential zu einer bestimmten Zeit und an einem bestimmten Ort?

Den Lösungen nach ist klar, dass das Potential dazu dient, festzulegen, wo sich ein Teilchen aufhalten kann und wo nicht (bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit). Aber wie kann ich wissen, wie ein Potential für ein bestimmtes physikalisches System aussieht, wenn ich nur den Aufbau des Systems kenne?

Harmony

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Wenn du das System kennst, dann kann man in der Regel auch das Potenzial (als Teil der Hamiltonfunktion H=T+V) aufstellen. Es ist nichts anderes als der klassische Ausdruck für die potenzielle Energie an einem bestimmten Ort.

Harmony · Anmeldungsdatum: 01.12.2007 Beiträge: 3

Danke.

Wenn ich z.B. wissen will, wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten eines Elektrons aussehen, das um einen Atomkern kreist, wie fange ich dann mit meinen Überlegungen an? Wie komme ich auf die Funktion der potentiellen Energie?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Du hast einen Kern mit Kernladungszahl z, der als positive Punktladung ze auftritt. Das Potenziel eines Elektrons in seinem Feld ist die bekannte Formel:

Leider hat man aber auch noch die Abstossungen von den anderen Elektronen, und die entstehende Schrödingergleichung ist nicht leicht lösbar (ich glaube sogar analytisch gar nicht). Fürs H-Atom ist es aber kein Problem.

Harmony · Anmeldungsdatum: 01.12.2007 Beiträge: 3

Das sehe ich ein. Ist der Grund dafür, dass nur das elektrische Potential berücksichtigt wird, der, dass das Potential der Gravitation vernachlässigbar klein ist?

Ist die Vorstellung zutreffend, dass das Potential die Energie beschreibt, die ein Teilchen an einem bestimmten Ort besitzt allein aufgrund der Tatsache, dass sich das Teilchen an diesem Ort befindet, unabhängig von spezifischen Teilcheneigenschaften wie Masse oder Ladung?

Ist dann die Erklärung dafür, dass das Potential einschränkt, wo sich ein Teilchen aufhalten kann und wo (probabilistisch) nicht, die, dass die Gesamtenergie des Systems konstant ist und dass das Teilchen sich deshalb nicht "einfach so" zu Orten mit höherem Potential bewegen kann? (Wenn ja, wie ist damit vereinbar, dass es das mit geringer Wahrscheinlichkeit doch tun kann? Woher kommt die Energie?)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Berechne mal das Verhältnis aus Gravitationsenergie und elektrostatischer Energie. Dann weisst du, warum erstere vernachlässigbar ist.

Das Potenzial ist die die potenzielle Energie. Sie hängt in diesem Fall von den Ladungen und dem gegenseitigen Abstand ab.

Auch klassisch gesehen stellt jede Potenzialmulde eine Barriere dar, die ein Teilchen mit gegebener Gesamtenergie nicht durchbrechen kann (Pendel, Planeten, etc...). In der Quantenmechanik kommen noch Besonderheiten dazu (zB Tunneleffekt).

Woher die Energie beim Tunneleffekt kommt ? Sie wird quasi ausgeborgt, denn das getunnelte Teilchen hat ja nur kurzzeitig eine höhere Energie gebraucht und befindet sich dann wieder in einem mit seiner Anfangsenergie "erlaubten" Zustand. Das Ausborgen ist wegen der Energie Zeit Unschärfe möglich.