Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Mechanik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Overkill</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. März 2013 14:39<span class="gen"> </span> Titel: Matrix eines Spannungstensor aufstellen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />Folgendes ist der Fall: Ein kubischer Körper mit der Kantenlänge <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a=10\,cm"> wird mechanisch in z-Richtung mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1000\,kN"> und durch ein den Körper umgebendes Gas in x- und y-Richtung mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?50\,kN"> belastet (In einem Kartesischen Koordinatensystem). <br /> <br />Nun soll ein Spannungstensor aufgestellt werden. Zur Übung und Selbstüberprüfung wäre es nett, wenn jemand die folgenden Behauptungen widerlegen oder bestätigen und dazu vielleicht einen kurzen Satz schreiben könnte. <br /> <br />1) Die Kräfte sind orthogonal zu den Flächen des Körpers gerichtet, daher treten lediglich Normalspannungen auf, jedoch keine Scherspannungen. <br /> <br />2) Da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F = A * \sigma * \vec{n}">, also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F/A= \sigma * \vec{n}">, lässt sich der Spannungstensor nun aufstellen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1000\,kN}{100\,cm^2}=\begin{pmatrix} \sigma_1 & \tau_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \sigma_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \tau_2 & \sigma_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} "> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\quad"> bzw. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{50\,kN}{100\,cm^2}=\begin{pmatrix} \sigma_1 & \tau_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \sigma_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \tau_2 & \sigma_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} "> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\quad"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\quad"> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{50kN}{100cm^2}=\begin{pmatrix} \sigma_1 & \tau_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \sigma_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \tau_2 & \sigma_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} "> <br /> <br />demnach lautet der Spannungstensor: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma = \begin{pmatrix} 0.5\,\frac{kN}{cm^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0.5\,\frac{kN}{cm^2} & 0 \\ 0 & 0 & 10\,\frac{kN}{cm^2} \end{pmatrix} "> <br /> <br />3) Schubspannungen in Flächen, die orthogonal zueinander sind, haben den selben Betrag. Daher hat ein Spannungstensor nur 6 unabhängige Werte anstatt 9. Der Spannungstensor ist daher <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\textbf{immer}"> symmetrisch. <br /> <br />4) Würden die Kraftvektoren nicht orthogonal zu den Flächen sein, träten zusätzlich Scherspannungen auf. <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1 & \tau_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \sigma_2 & \tau_3 \\ \tau_1 & \tau_2 & \sigma_3 \end{pmatrix} "> <br /> <br />Durch die Berechnung der Eigenwerte der Matrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?det(A-\lambda E)=0 "> können die drei Hauptspannungen berechnet werden. Der Spannungstensor hat dann die allgemeine Form: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma=\begin{pmatrix} \sigma_{\lambda_1} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{\lambda_2} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{\lambda_3} \end{pmatrix} "> <br /> <br />Ich würde mich über jede Antwort freuen und bedanke mich schonmal.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
