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[quote="Hagbard"][quote="dermarkus"]Dann, meine ich, hast du dich beim Integrieren noch verrechnet, denn für das Volumen muss eine Funktion herauskommen, die für Zeiten größer Null abnimmt. Vielleicht magst du (gerne auch nach dem Genießen froher Festtage ;) ) deine Rechnung nochmal kontrollieren und/oder hier aufschreiben?[/quote] Ich glaube, ich habe zu unmathematisch rumgewurschtelt... Mit diesem Integral komme ich eigentlich ja nur auf die Zeit, nach der das Fass leer ist. Was mache ich mit dieser Zeit dann? Gruß[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Dez 2006 13:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay, dann nochmal Danke an Euch, die mich unterstützt haben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>para</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2006 17:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hagbard hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nach dem Integrieren bin ich bei folgender Gleichung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left[2 \cdot \sqrt{V}\right]_{V_0}^{V(t)} = \left[- \sqrt{2 \cdot g \cdot \frac{A_2^2}{A_1} \cdot t}\right]_{0}^t ">. <br />Das kann irgendwie aber auch nicht hinhauen, weil das Volumen ja auch wieder zeitlich ansteigt und nicht abnimmt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Gleichung sieht so schon sehr gut aus. Du musst nur aufpassen, die Wurzel ist jetzt hier etwas lang geworden, die Zeit muss natürlich außerhalb stehen. <br />Woher vermutest du dass das Volumen dabei wieder zeitlich ansteigt? <br /> <br />Wenn man einfach mal die Grenzen einsetzt wie sie dastehen, erhält man: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \sqrt{V(t)} - 2 \sqrt{V} = - \sqrt{2g\frac{A_2^2}{A_1}} \cdot t"> <br /> <br />Was einen ja aber eigentlich interessiert ist V(t), also stellt man etwas um und bekommt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t) = \left( \sqrt{V_0} - \sqrt{\frac{g}{2}\frac{A_2^2}{A_1}} \cdot t \right)^2"> <br /> <br />Und innerhalb des gültigen Zeitraums (also von t=0 bis es alle ist), fällt diese Funktion sehr schön. <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br /><span style="font-size: 10px; line-height: normal">Übrigens: es ist schön dass du schon versucht hast deine Formeln in LaTeX zu schreiben, ich habe mal noch die ein oder andere Formsache verändert. Mehr dazu findest du bei Bedarf in der <a href="http://www.physikerboard.de/topic,128,-latex---formelsatz-im-board.html" target="_blank" class="postlink">Einführung</a> zum Formelsatz im Board.</span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2006 12:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hmmm komisch. Ich habe mir das jetzt nochmal angeschaut und komme auf 37,68 Minuten für Tende. <br /> <br />Das Volumen, welches momentan noch im Fass ist müsste demnach: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_0 - 0{,}5 \cdot g \cdot \frac {A_2^2}{A_1} \cdot t^2 "> sein. <br /> <br />Ist da schon ein Fehler drin? Ich bin eigentlich schon der Meinung, ich hätte da jetzt nichts falsch gemacht. <br />Nach dem Integrieren bin ich bei folgender Gleichung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left[2 \cdot \sqrt{V}\right]_{V_0}^{V(t)} = \left[- \sqrt{2 \cdot g \cdot \frac{A_2^2}{A_1} \cdot t}\right]_{0}^t ">. <br />Das kann irgendwie aber auch nicht hinhauen, weil das Volumen ja auch wieder zeitlich ansteigt und nicht abnimmt. <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2006 09:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>dermarkus hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dann, meine ich, hast du dich beim Integrieren noch verrechnet, denn für das Volumen muss eine Funktion herauskommen, die für Zeiten größer Null abnimmt. <br /> <br />Vielleicht magst du (gerne auch nach dem Genießen froher Festtage <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> ) deine Rechnung nochmal kontrollieren und/oder hier aufschreiben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich glaube, ich habe zu unmathematisch rumgewurschtelt... Mit diesem Integral komme ich eigentlich ja nur auf die Zeit, nach der das Fass leer ist. Was mache ich mit dieser Zeit dann? <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2006 01:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dann, meine ich, hast du dich beim Integrieren noch verrechnet, denn für das Volumen muss eine Funktion herauskommen, die für Zeiten größer Null abnimmt. <br /> <br />Vielleicht magst du (gerne auch nach dem Genießen froher Festtage <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> ) deine Rechnung nochmal kontrollieren und/oder hier aufschreiben?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Dez 2006 19:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe in meiner Gleichung das Minus gleich mit in das "c" genommen. Auf die Lösung bin ich durch Integration und nicht durch versuchen gekommen. <br /> <br />Übrigends... schöne und ruhige Weihnachtstage wünsch ich dir (und Euch, die ihr das lest) natürlich! <br /> <br /> <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Dez 2006 12:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hagbard hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bin ich nach dieser DGL mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t)=\frac {1}{4}*c²*t²"> auf dem richtigen Weg? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />So eine quadratische Abhängigkeit des Volumens von der Zeit hatte ich zuerst auch vermutet, bis ich das Minuszeichen gesehen habe. <br /> <br />Aber wegen dem Minuszeichen in unserer Differentialgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t}= - c\cdot \sqrt{V(t)} "> <br /> <br />kann dieses Ergebnis/ dieser geratene Ansatz (wie bist du drauf gekommen, durch Ausrechnen der Integrale oder durch Raten eines Ansatzes?) noch nicht stimmen: Denn das Volumen nimmt ja mit zunehmender Zeit t nicht quadratisch zu, sondern muss abnehmen. <br /> <br />Magst du mal die Methode der Separation der Variablen, die ich empfohlen habe (siehe auch unten), weiterrechnen, und sehen, was für ein V_ende(t_ende) da herauskommt? Das heißt, kannst du die Integrale, die da links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen, ausrechnen? <br /> <br />Zum Überprüfen auf eventuelle Rechenfehler beim Integrieren: Das Ergebnis muss für den Anfangszeitpunkt das Volumen V_0 ergeben und ein mit der Zeit abnehmendes Volumen darstellen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>dermarkus hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{V=V_0}^{V=V_{ende}}\frac{1}{\sqrt{V}} \, \dd V = \int_{t=0}^{t=t_{ende}}(- c)\cdot \dd t"> <br /> <br />und bekommst damit die Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{ende}(t_{ende})">, also das Flüssigkeitsvolumen in dem Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit.</td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Dez 2006 00:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bin ich nach dieser DGL mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t)=\frac {1}{4} \cdot c² \cdot t²"> auf dem richtigen Weg? Vielen, vielen Dank für deine Hilfe! <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2006 02:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hagbard hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t}= \sqrt{2g\frac{V(t)}{A_1} } \cdot A_2"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Einverstanden, genau so hatte ich meinen Tipp oben gemeint <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />Nun muss ich noch einen Vorzeichenfehler korrigieren, den ich oben gemacht habe: Da das Volumen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t)"> in dem Gefäß abnimmt, muss die erste Ableitung des Volumens nach der Zeit negativ sein, damit muss ich oben schreiben: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t} = - v\cdot A_2"> <br /> <br />und damit bekommst du in deiner Gleichung auch noch dieses Minuszeichen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t}= - \sqrt{2g\frac{V(t)}{A_1} } \cdot A_2 = - \sqrt{2g\frac{A_2^2}{A_1} } \cdot \sqrt{V(t)} = - c\cdot \sqrt{V(t)} "> <br /> <br />Dabei habe ich die Konstanten der Übersichtlichkeit halber zu einem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c"> zusammengefasst. <br /> <br />Nun kannst du natürlich versuchen, durch bloßes Hingucken und Ausprobieren einen Ansatz zu finden, der diese DGL mit den Randbedingungen der Aufgabenstellung löst. Ich finde das hier allerdings nicht besonders einfach. <br /> <br />Daher empfehle ich dir hier, die DGL mit Separation der Variablen zu lösen: Du bringst alles, auch die Differentiale, mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V"> auf die eine Seite und alles mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t"> auf die andere: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\sqrt{V}} = - c\cdot \dd t"> <br /> <br />Und dann integrierst du auf beiden Seiten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{V=V_0}^{V=V_{ende}}\frac{1}{\sqrt{V}} \, \dd V = \int_{t=0}^{t=t_{ende}}(- c)\cdot \dd t"> <br /> <br />und bekommst damit die Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{ende}(t_{ende})">, also das Flüssigkeitsvolumen in dem Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Dez 2006 23:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Soll ich jetzt da versuchen, welcher Ansatz klappt. Das erscheint mir irgendwie witzlos? Bin langsam ziemlich ausgelaugt von dieser Aufgabe. Hab schon so viel Arbeit und Zeit investiert und trete trotzdem auf der Stelle. Ziemlich demotivierend irgendwie. <br /> <br /> <br />Mag mir nochmal jemand einen Tipp geben? <br />ps) dermarkus, danke, dass du immer wieder Tipps gibst, aber ich verstehe leider nicht immer alle Denkanstöße :-/</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Dez 2006 09:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mit Differenzialgleichungen bin ich noch nicht so vertraut. Brauche ich da nicht einen Lösungsansatz, den ich dann in die DGL einsetze und versuche, ob er passt? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t}= \sqrt{2g\frac{V(t)}{A_1} } \cdot A_2"> <br /> <br />Ist das meine DGL? In meiner Gleichung ist doch der Strom (I) gleichgesetzt, oder? <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Dez 2006 01:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Hagbard hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h(t)} \cdot t = V_0-A_1 \cdot h(t)"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das gilt nur, wenn der ausströmende Volumenstrom konstant ist. Da das nicht der Fall ist, ist diese verinfacht geratene Gleichung nicht richtig. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Aber man würde das Volumen ja nur erhalten, wenn man <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h(t)} \cdot t"> über die Zeit integriert und da steht man wieder vor dem Problem, ein zeitabhängiges, nicht bekanntes h(t) zu haben <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Stimmt, deshalb kannst du das nicht direkt integrieren, sondern du erhältst statt dessen erst einmal eine Differentialgliechung für V(t), die du dann mit den Lösungsmethoden für Differentialgleichungen lösen kannst. <br /> <br />Von deinem nicht bekannten h(t) weißt du (wie oben schon gesagt), dass es gleich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h(t) = V(t) / A_1"> <br /> <br />ist. Wenn du das in unsere Gleichung einsetzt, dann bekommst du eine Gleichung, in der links die erste Ableitung des Volumens nach der Zeit steht, und rechts neben einigen Konstanten auch noch das Volumen unter einer Wurzel. Das ist die gesuchte Differentialgleichung für V(t).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2006 14:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wie ich aus diesen beiden Sachverhalten einen Differenzialansatz hinbekomme ist mir noch nicht ganz klar. Ist meine Gleichung jetzt richtig? <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h(t)} \cdot t = V_0-A_1 \cdot h(t)"> <br /> <br />Aber man würde das Volumen ja nur erhalten, wenn man <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h(t)} \cdot t"> über die Zeit integriert und da steht man wieder vor dem Problem, ein zeitabhängiges, nicht bekanntes h(t) zu haben <br /> <br /> <br />Ich steh irgendwie auf dem Schlauch.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2006 13:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mit dieser Aussage bin ich noch nicht einverstanden. <br /> <br />Magst du lieber einfach verwenden, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t} = v\cdot A_2"> <br /> <br />also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t} = \sqrt{2\cdot g\cdot h(t)}\cdot A_2"> <br /> <br />und diese Gleichung zum Beispiel durch Verwenden von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h(t)\cdot A_1 = V(t)"> so umformen, dass sie zu einer Differentialgleichung für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t)"> wird?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2006 13:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe das "p" nur als Rho genommen, weil mir mein Rho, welches ich aus Word kopiert habe nicht übernommen wurde... <br />ähm ja, an meinem Ansatz ist wohl der Fehler, dass k zeitabhängig ist. Da hab ich wohl einige Zeit lang zu kompliziert rumgedoktort, oder? <br />Über die Gleichung mit statischem und dynamischem Druck komme ich auf die Lösung... <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_2 \cdot \sqrt{2 \cdot g \cdot h(t)} = V_0-A_1 \cdot h(t)"> V0 ist das Augsgangsvolumen A2*H <br />Hat diese Aussage was Wahres? *g</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2006 12:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Einverstanden <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />(Bis auf die Bezeichnung "p": Mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p"> bezeichnet man einen Druck, für die Dichte verwendet man den griechischen Buchstaben rho (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varrho">).) <br /> <br />Kannst du nun diese Formel für v, sowie das A1 und das A2 nutzen, um das k in deiner Gleichung zu bestimmen? <br /> <br />Tipp: v*A2 ist der ausfließende Volumenstrom <br /> <br />Bekommst du dabei ein zeitabhängiges k oder ein zeitunabhängiges k? Sollte sich dabei herausstellen, dass dein k noch von der Zeit abhängt, dann solltest du mit der Überlegung zu v, A1 und A2 deine Differentialgleichung nochmal neu aufstellen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2006 06:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich vermute, dass ich sie rausbekommen habe, aber leider nicht mit meinem Ansatz sondern nur in dem ich den statischen Druck mit dem dynamischen gleichgesetzt habe. Also: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0{,}5 \cdot p \cdot v^2=p \cdot g \cdot H \Rightarrow v=\sqrt{2 \cdot g \cdot H} "> p ist die Dichte <br /> <br />4,43 m/s kommen dann heraus. Ich dachte nur ich hätte das "selber" lösen können :-/. <br /> <br /> <br />Gruß</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>dermarkus</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2006 02:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vorneweg: Hast du die a) schon herausbekommen? Magst du deine Lösung dafür mal hier hinschreiben, damit wir sie für die weiteren Aufgabenteile verwenden können?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hagbard</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Dez 2006 17:01<span class="gen"> </span> Titel: Strömungsgeschwindigkeit eines auslaufenden Bierfasses</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, ich habe die Aufgabe bekommen: <br /> <br />Ein zylindrisches Bierfass mit der Queerschnittsfläche A1=0,5m² ist bis zur Höhe H=1m mit Bier gefüllt. An seinem Boden befindet sich ein Zapfhan mit der Querschnittsfläche A2=1cm². <br />a) Mit welcher Geschwindigkeit strömt das Bier aus, wenn der Hahn geöffnet wird? <br />b) Nach welcher Zeitfunktion sinkt der Bierstand? <br />c) Nach welcher Zeit ist das Bierfass leer? <br /> <br />ps) bei dieser Aufgabe soll sich Bier wie Wasser verhalten... <br /> <br /> <br />Okay bislang habe ich mir folgendes überlegt... Die Kraft, die dafür sorgt, dass beim Öffnen des Hahns unten das Bier rausläuft hängt zum einen von unserer konstanten Erdbeschleunigung "g" ab und zugleich von der Gewichtskraft, welche die "Biersäule" über dem Zapfhahn hat. <br />=> die Flussgeschwindigkeit nimmt mit sinkendem Füllstand des Fasses ab. Wenn ich mir den zeitlichen Verlauf der Flussgeschwindigkeit vorstelle, dann hört sich das ziemlich stark nach einer ln-Funktion an. <br /> <br />Momentan hänge ich hier: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd V}{\dd t}= -k \cdot V"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t=0)=H \cdot A_1"> <br /> <br />Mit diesen beiden Ansätzen komme ich auf: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \limits_{V0}^{V(t)} \frac{1}{V} \, \dd V = \int \limits_{t0}^{t} -k \, \dd t "> <br />Was mich wiederum auf die Gleichung des Momentanvolumens bringt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(t)=V_0 \cdot e^{-k \cdot (t-t0)} "> <br /> <br />Wie komme ich jetzt auf die Konstante "k"? Normalerweise über das Flächenverhältnis A1 und A2, oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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