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[quote="Qubit"]Gute Frage, was das "anschauliche Verständnis" angeht.. :) Besser als die Kraft hilft da vielleicht der Energieverlust. Der ist hier eben nicht konstant sondern nimmt linear mit der (mechanischen) Energie selbst ab [latex]\Delta E \propto E[/latex], was zu einem exponentiellen Abfall in der Amplitude führt.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. März 2026 05:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was Qubit sagt ist nicht ganz präzise und nicht einfach zu sehen. <br /> <br />Man startet mit der Bewegungsgleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m\ddot{x} + d\dot{x} + kx = 0"> <br /> <br />und der Gesamtenergie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E = \frac{m}{2}\dot{x}^2 + \frac{k}{2}x^2"> <br /> <br />Ableiten und Verwenden der Bewegungsgleichung liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dot{E} = m\dot{x}\ddot{x} + kx\dot{x} = \dot{x}(m\ddot{x} + kx) = - d\dot{x}^2"> <br /> <br />Für <span style="font-style: italic">genügend schwache Dämpfun</span>g betrachtet man die Schwingung über einen kurzen Zeitraum und setzt Energie E und Amplitude A näherungsweise als konstant an: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E \approx \frac{1}{2}k A^2"> <br /> <br />Man mittelt* über diesen kurzen Zeitraum und erhält <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \langle \dot{x}^2 \rangle = \frac{1}{2}\omega^2 A^2, \qquad \omega^2 = \frac{k}{m}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \left\langle \dot{E} \right\rangle = -d \langle \dot{x}^2 \rangle = -\frac{d}{2}\omega^2 A^2 = -\frac{d}{m} \left\langle E \right\rangle"> <br /> <br />und damit einen exponentiellen Abfall der <span style="font-style: italic">gemittelten Energie</span> und der Amplitude <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \langle E(t) \rangle \propto e^{-(d/m)t}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? A(t) \propto e^{-(d/2m)t}"> <br /> <br /> <br />* Das zeitliche Mittel einer Funktion f ist definiert als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \langle f \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T dt \, f(t)"> <br /> <br />Setzt man über einen genügend kurzen Zeitraum eine harmonische Schwingung an <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x(t) \approx A \cos(\omega t), \qquad \dot{x}(t) \approx -A\omega \sin(\omega t)"> <br /> <br />so führt dies auf das Integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \langle \dot{x}^2 \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T dt \, A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t)"> <br /> <br />Unter der Voraussetzung <span style="font-style: italic">genügend schwacher Dämpfung</span> darf man das über eine Periode auswerten und erhält das oben verwendete Ergebnis <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \langle \dot{x}^2 \rangle = \frac{1}{2} A^2 \omega^2"> <br /> <br />Man kann sich überlegen, dass die oben verwendete Voraussetzung der konstanten Amplitude über eine Periode T gerade der Voraussetzung schwacher Dämpfung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d}{m} \ll \omega"> <br /> <br />entspricht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. März 2026 00:46<span class="gen"> </span> Titel: Re: Schwingfall - Abnahme der Amplitude</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>ralle hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">ich würde euch gerne fragen, weshalb die Amplitude eines Oszillators, im Schwingfall exponentiell und nicht z.B. linear abnimmt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das hängt von der Art der Dämpfung ab. Wenn die Bremsbeschleunigung proportional zur Geschwindigkeit ist (wie in den obigen Antworten angenommen), dann nimmt die Amplitude exponentiell ab. Ist ihr Betrag dagegen konstant (z.B. bei einem Federschwinger, der auf einer horizontalen Unterlage hin und her schleift), dann nimmt die Amplitude linear ab.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. März 2026 18:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E \propto E"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />PS: eine Aufgabe für dich wäre jetzt, in diesem "Schwinger-Modell" mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E = k \cdot E"> das k für die Amplituden mal konkret zu bestimmen..</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. März 2026 17:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Gute Frage, was das "anschauliche Verständnis" angeht.. <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br />Besser als die Kraft hilft da vielleicht der Energieverlust. Der ist hier eben nicht konstant sondern nimmt linear mit der (mechanischen) Energie selbst ab <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E \propto E">, was zu einem exponentiellen Abfall in der Amplitude führt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Steffen Bühler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. März 2026 09:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Willkommen im Physikerboard! <br /> <br />Ja, die Betrachtung der Kräfte ist eine gute Idee! Im ungedämpften Fall gilt ja <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot x + k x = 0"> <br /> <br />Es muss also zu jedem Zeitpunkt die Schwerkraft (Masse mal Beschleunigung) gleich der negativen Rückholkraft (Federkonstante mal Weg) sein. <br /> <br />Diese Differentialgleichung kann nur von bestimmten Zeitfunktionen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)"> erfüllt werden, zum Beispiel eben vom Sinus, denn zu dem ist die zweite Ableitung jederzeit negativ, von einem Faktor abgesehen. <br /> <br />Die Dämpfung ist nun geschwindigkeitsproportional, hier gilt also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m \ddot x + d \dot x + k x = 0"> <br /> <br />Und das geht eben nur auf, wenn die Zeitfunktion ein exponentiell abklingender Sinus ist. <br /> <br />Viele Grüße <br />Steffen</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>ralle</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. März 2026 07:28<span class="gen"> </span> Titel: Schwingfall - Abnahme der Amplitude</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo an alle,<br /><br />ich würde euch gerne fragen, weshalb die Amplitude eines Oszillators, im Schwingfall exponentiell und nicht z.B. linear abnimmt. <br /><br />Liebe Grüße <br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Würde es was bringen, sich die Kräfteverteilung anzuschauen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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