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[quote="Myon"]Messungen werden durch [i]hermitesche[/i] Operatoren beschrieben. Die eingangs genannte Ableitung d/dt zum Beispiel ist ein Operator, aber dieser Operator ist nicht hermitesch, ihm ist also keine Messgrösse zugeordnet.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Troika</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jul 2025 20:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Aruna. <br />Ich denke schon, dass ich es verstanden habe und TomS gibt mir ja im Prinzip Recht, wenn er schreibt: <br /> <br />„Wichtig: Der Zustandsvektor ist sozusagen der "Träger der Eigenschaften" eines physikalischen Systems; ein hermitescher Operator ist eine Rechenvorschrift, die es erlaubt, diese Eigenschaften zu aus dem Zustandsvektor berechnen, z.B. Erwartungswerte für Messungen einer Messgröße.“ <br /> <br />Mein Interesse war zunächst nur eine reine Begriffsbestimmung und wenn ich recht sehe, gilt: <br /> <br />Der <span style="font-weight: bold">Zustandsvektor </span>repräsentiert den physikalischen Zustand des Systems, zB. die Energie und ist damit etwas Substanzielles. <br />Der <span style="font-weight: bold">Eigenwert </span>repräsentiert die numerische Größe des Vektors und ist damit etwas Akzidentielles. <br />Der <span style="font-weight: bold">Operator </span>repräsentiert den Prozess einer Zustandsänderung und ist damit etwas Strukturelles. <br /> <br />Dann dürfte das „2. Axiome der Quantentheorie“ nicht lauten: <br />„Eine physikalische Größe A wird repräsentiert durch einen Operator in H …“ <br />sondern: <br />Die <span style="text-decoration: underline">Änderung </span>einer physikalischen Größe (des Zustandes) wird repräsentiert durch einen Operator A in H …“ <br /> <br />Du schreibst: <br />„Dann kommen Physiker und finden die von der Mathematik abstrakt dargestellten Strukturen in der physikalischen Welt wieder.“ <br /> <br />Das betrifft wohl die Rolle der Mathematik und ist mE. mehr ein philosophisches Problem. Dazu 2 Beispiele: <br /> <br />A) TomS hat in einem Beitrag geschrieben, dass die Unschärfe zB. Ort & Geschwindigkeit, sich aufgrund der Verwendung von Kommutatoren bzw. der Fourier-Transformationen ergibt und somit <span style="text-decoration: underline">vor aller Messung</span> die Quanten bereits Unschärfe-an-sich zeigen. <br /> <br />B) Der Messprozess ist indeterminiert und zufällig, weil der idempotente <span style="text-decoration: underline">Projektionsoperator </span>die kontinuierliche Schrödinger-Bewegung spontan unterbricht und den Rest der Schrödingergleichung kollabieren lässt. <br /> <br />1) Wenn die Eigenschaften von Operatoren mit den Eigenschaften der Naturphänomene identifiziert werden, muss man ja schon daran glauben, dass die Natur-an-sich tatsächlich mathematisch organisiert ist und nur „abgelesen“ bzw. „aufgedeckt“ werden muss. <br /> <br />2) Wenn die Eigenschaften von Operatoren die Eigenschaften der Naturphänomene nur <span style="text-decoration: underline">repräsentieren</span>, lässt das Alternativen zu. <br /> <br />In der alternativen und genauso richtigen Bohmschen Mechanik wird zwar die Unschärferelation bestätigt, aber sie braucht keinen idempotenten Projektionsoperator. Nach 2) möglich, nach 1) nicht. <br /> <br />Ist die Realität, bzw. die „Ontologie“ hiermit eine Funktion der philosophischen Überzeugung? <br /> <br />Noch ein Gedanke zu A): <br />Ist es nicht so, dass schon die Formulierung „Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t“ ein logischer Widerspruch in sich ist? Wenn ein Teilchen Geschwindigkeit hat, dann ist es in einer kontinuierlichen Bewegung und dann k a n n es keinen Ort haben (schon mal gar keinen festen) und umgekehrt: wenn es an einem Ort verharrt, hat es keine Bewegung und damit auch keine Geschwindigkeit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jul 2025 07:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Troika hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das habe ich soweit verstanden. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />scheint mir nicht so: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Troika hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Was ich nicht verstehe ist, warum ein Operator mal eine Vorschrift und mal eine physikalische Größe genannt wird! <br />Eine Vorschrift ist etwas strukturelles, eine Größe etwas substanzielles.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich hab mal geschaut, wer das mit der "Vorschrift" sagt. <br />Wikipedia: <br /> <br /><ul></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Wikipedia hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift, durch die man aus mathematischen Objekten neue Objekte bilden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> </ul> <br /> <br />Mit einem Operator kann z.B. aus einem Vektor ein anderer Vektor gebildet werden. <br />Oder die Eigenwerte in der Basisdarstellung zu dem Operator "extrahiert" <br />Das ist alles in der Welt der Mathematik und Mathematik ist eine <span style="font-weight: bold">Struktur</span>wissenschaft. <br />Dann kommen Physiker und finden die von der Mathematik abstrakt dargestellten Strukturen in der physikalischen Welt wieder. <br />Die identifizieren dann z.B. abstrakte mathematische Objekte mit konkreten physikalischen Größen. <br />Und dann gibt es "Vorschriften" wie aus einem mathematischen Objekt, das mit einer bestimmten physikalischen Größe identifiziert wird (diese im verwendeten Modell "repräsentiert") andere physikalische Größen gebildet werden können. <br />So kann man z.B. die Ableitung nach der Zeit, falls die auf die physikalsiche Größe "Geschwindigkeit" angewandt wird, mit der physikalischen Größe "Beschleunigung" identifizieren. <br />Das heißt aber nicht, dass jede Ableitung nach der Zeit eine physikalische Größe <span style="font-weight: bold">ist</span>.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 15:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich schließe mich meinem Vorredner an. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bei meinem Beitrag hatte ich ohnehin ein ungutes Gefühl und wollte ihn auch löschen. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nee, lass das. <br /> <br />Du kannst nichts dafür, dass dir in der Physik, immer dieses "hermitesch" über den Weg läuft, und kaum jemand sauber argumentiert. <br /> <br />Wenn ich Zeit habe, schreibe ich dazu mal was anhand des Beispiels des nicht-selbstadjungierten Impulsoperators -i∂<span style="font-size: 9px; line-height: normal">x</span> auf dem Hilbertraum L²[0, ∞[, und was dabei schief geht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nils Hoppenstedt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 14:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Myon, <br /> <br />ich glaube, du gehst zu hart mit dir ins Gericht. Dein Einwand, dass Observablen hermitesch sein müssen, war schon richtig (auch wenn die Umkehrung i.A. nicht stimmt). Denn die Hermitizität garantiert, dass die Erwartungswerte reell und damit physikalisch interpretierbar sind. Das ist eine wesentliche Bedingung an eine physikalisch sinnvolle Observable. <br /> <br />Viele Grüße, <br />Nils</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 13:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TomS: Zuerst einmal vielen Dank für Deine ausführlichen Erklärungen (ebenso Dank an Nils Hoppenstedt). Ich möchte mir das später noch näher anschauen. Das ist ein Thema, in das ich mich schon lange hatte (teilweise wieder) einarbeiten wollen, bin aber zu wenig fit dazu. <br />Bei meinem Beitrag hatte ich ohnehin ein ungutes Gefühl und wollte ihn auch löschen. Die einfache Ableitung d/dt hatte ich erwähnt, da Troika im ersten Beitrag das so geschrieben hatte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nils Hoppenstedt</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 11:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ich würde folgendes noch ergänzen: damit ein Operator als Observable angesehen werden kann, müssen folgende Kriterien erfüllt sein: <br /> <br />1. Der Operator 𝐴 muss selbstadjungiert sein, d.h.: <br /> <br /> 𝐴 = 𝐴† und D(𝐴)=D(𝐴†) <br /> <br />Nur dann ist sein Spektrum reell, was physikalisch bedeutet: Messwerte sind reell. <br /> <br />2. Dichte Definition: <br />Der Operator muss auf einem dichten Teilraum des Hilbertraums definiert sein, damit er eindeutig durch seine Wirkung auf Zustände festgelegt ist. <br /> <br />3. Messbare Spektralwerte: <br />Der Operator sollte ein sinnvolles Spektrum besitzen (z. B. diskret für Energiezustände, kontinuierlich für Ort/Impuls), da Messungen mit diesem Spektrum verbunden sind. <br /> <br /> <br />Ein Operator kann zwar formal hermitesch sein (z. B. der Impulsoperator −𝑖ℏ∂𝑥), aber: <br /> <br />Er ist nicht automatisch selbstadjungiert, z. B. wegen unvollständiger Randbedingungen. <br /> <br />Dann fehlen z. B. reelle Eigenwerte oder vollständige Eigenbasen → physikalisch nicht interpretierbar. <br /> <br />Erst nach geeigneter Festlegung von Definitionsbereich und Randbedingungen (z. B. auf 𝐿²(𝑅) statt auf zu kleinem Raum) wird er selbstadjungiert und damit observable. <br /> <br />Viele Grüße, <br />Nils</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 10:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Messungen werden durch <span style="font-style: italic">hermitesche</span> Operatoren beschrieben. Die eingangs genannte Ableitung d/dt zum Beispiel ist ein Operator, aber dieser Operator ist nicht hermitesch, ihm ist also keine Messgrösse zugeordnet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der fragliche Operator ist aber nicht <span style="font-weight: bold">d/dt</span>, sondern <span style="font-weight: bold">i d/dt</span>, und der ist hermitesch (muss er auch sein, da das rechts in der SG stehende H hermitesch ist). <br /> <br />Das Problem liegt wo anders. <br /> <br />1) <span style="font-weight: bold">i d/dt</span> ist ein Operator, der nicht mittels der Freiheitsgraden des physikalischen Systems konstruiert wird; er beschreibt nicht das System oder Eigenschaften des Systems, sondern dessen Translation in der Zeit; <span style="font-weight: bold">wie genau</span> sich <span style="font-weight: bold">ein bestimmtes</span> System unter infinitesimalen Zeittranslationen verändert, wird durch den <span style="font-weight: bold">genau dieses System</span> definierenden Hamiltonoperator H beschrieben; das gilt analog bereits in der klassischen Mechanik. <br /> <br />2) Ich stimme schon mit dem Satz "Messungen werden durch hermitesche Operatoren beschrieben" nicht überein. Messungen werden in der Textbuch-Darstellung / der orthodoxen Interpretation der Quantenmechanik<span style="font-weight: bold">überhaupt nicht beschrieben</span>. Der tatsächlichen Messgröße (Impuls, Energie ...) wird ein hermitescher Operator zugeordnet, den man als Observable bezeichnet; das ist irreführend, denn der beschreibt weder die Beobachtung, noch wird er beobachtet; es ist eine rein mathematische Größe, deren Verknüpfung mit einer realen Messung bzw. deren Messerergebnissen postuliert jedoch nicht erklärt wird. In allen über die Textbuch-Darstellung hinausgehenden weiterführenden Ansätzen, die die Messung tatsächlich beschreiben wollen, spielen diese "Observablen" keine fundamentale Rolle. Wenn man z.B. die Energie eines elektrisch geladenen "Teilchens" misst, dann misst man in Wirklichkeit den Ort, an dem das Teilchen nach dem Durchgang durch ein Magnetfeld auf dem Detektor auftrifft. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Troika hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was ich nicht verstehe ist, warum ein Operator mal eine Vorschrift und mal eine physikalische Größe genannt wird! <br />Eine Vorschrift ist etwas strukturelles, eine Größe etwas substanzielles.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ein Operator A ist zunächst eine <span style="font-weight: bold">mathematische Größe</span>, die eine Abbildung des Definitionsbereiches des Operators D(A) als Teilmenge des Hilbertraumes auf den Hilbertraum definiert, d.h. der einem Vektor v einen anderen Vektor w zuordnet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A: v \in D(A) \subseteq \mathcal{H} \to w \in \mathcal{H}"> <br /> <br />Der Definitionsbereich D(A) muss nicht den gesamten Hilbertraum umfassen (und der Bildbereich auch nicht). <br /> <br />Gewisse mathematische Operatoren werden <span style="font-weight: bold">in einen physikalischen Kontext gesetzt</span>, d.h. sie erhalten dadurch eine physikalische Bedeutung, wie z.B. die Assoziation mit physikalischen Größen. <br /> <br />Das trifft aber nicht nur für hermitesche Operatoren zu. Nicht jeder Operator ist hermitesch, d.h. nicht jeder Operator kann überhaupt einer Messgröße zugeordnet werden. Nicht für jeden hermiteschen Operator gibt es eine vernünftige Messgröße. Es gibt physikalisch relevante nicht-hermitesche Operatoren. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Wichtig</span>: Der Zustandsvektor ist sozusagen der "Träger der Eigenschaften" eines physikalischen Systems; ein hermitescher Operator ist eine Rechenvorschrift, die es erlaubt, diese Eigenschaften zu aus dem Zustandsvektor berechnen, z.B. Erwartungswerte für Messungen einer Messgröße.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 08:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Messungen werden durch <span style="font-style: italic">hermitesche</span> Operatoren beschrieben. Die eingangs genannte Ableitung d/dt zum Beispiel ist ein Operator, aber dieser Operator ist nicht hermitesch, ihm ist also keine Messgrösse zugeordnet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Troika</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 07:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das habe ich soweit verstanden. <br />Was ich nicht verstehe ist, warum ein Operator mal eine Vorschrift und mal eine physikalische Größe genannt wird! <br />Eine Vorschrift ist etwas strukturelles, eine Größe etwas substanzielles.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 06:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Troika hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Es sieht so aus, als sei ein Operator alles: eine Vorschrift, eine physikalische Größe, die Summe aller Eigenwerte, das Resultat …?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ein Operator ist eine mathematische Größe, die auf einen Zustand wirkt und diesen verändern kann. <br />Der kann den Vektor z.B. drehen. Oder in der Zeit entwickeln. <br />Wenn ein Operator, repräsentiert durch eine eine Matrix auf einen Vektor wirkt, der ein Eigenvektor dieses Operators ist, ist das Resultat der gleiche Vektor, mit einer Zahl, dem sogenannten Eigenwert multipliziert. <br />Nach dem - im anderen Thread kontrovers diskutierten - Porjektionspostulat, misst man Betragsquadarate der Eigenwerte des Operators, der die jeweilige Messgröße repräsentiert. und die Messung entspricht der Anwendung des Operators auf den Zustand und der zufälligen Auswahl eines der Eigenwerte. <br />Normalerweise würde man allerdings den Erwartungswert des Operators bestimmen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_17</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 06:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Troika hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Worin besteht begrifflich der Unterschied zwischen dem Zustand, der vom Vektor repräsentiert wird und der physikalischen Größe A, die vom Operator repräsentiert wird?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ein Zustand enthält alle möglichen Eigenschaften, die ein physikalisches System haben kann, bzw. das man ihm gerade für die Modellierung zuschreibt. <br />Ein Operator wirkt auf den Zustand. <br />Falls der Operator eine physikalische Messgröße (Opservable) (Impuls, Ort, Drehimpuls...) repräsentiert, kann man mit diesem eben diese bestimmte Größe (bzw. deren Wahrscheinlichkeitsverteiilung aus dem Zustand ermitteln. <br /> <br /> <br />.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Troika</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2025 03:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo TechnikFan, <br />ja das stimmt … Mir ging es eigentlich um das Verhältnis "mathematische Terme / Entsprechung in der Realität" in den Quantentheorien, speziell im Hilbertraum, speziell selbstadjungierte Operatoren mit einem Spektrum von Eigenvektoren mit ideellen Eigenwerten. <br /> <br />Die ersten zwei Axiome der Quantentheorie lauten: <br /> <br />1. <span style="font-style: italic">Ein quantenmechanisches System S wird repräsentiert durch den Hilbertraum H; und sein Zustand zu Zeit t durch den Vektor psi als Element des Hilbertraumes. <br /> <br />2. Eine physikalische Größe wird repräsentiert durch einen selbstadjungierten Operator A in H; und die Eigenwerte a von A werden repräsentiert durch das Spektrum von A.</span> <br /> <br />Worin besteht begrifflich der Unterschied zwischen dem Zustand, der vom Vektor repräsentiert wird und der physikalischen Größe A, die vom Operator repräsentiert wird? <br />Es sieht so aus, als sei ein Operator alles: eine Vorschrift, eine physikalische Größe, die Summe aller Eigenwerte, das Resultat …?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TechnikFan</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jul 2025 22:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Troika, willkommen im Physikerboard. <br /> <br />Deine Frage ist sehr allgemein formuliert, und die erschöpfende Antwort von einem Experten in diesem Forum würde Seiten füllen. Das ist wahrscheinlich der Grund, warum sich noch keiner von denen gemeldet hat. <br /> <br />Ich bin QM-Laie und kann Dich nur z.B. auf Wikipedia verweisen <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Formulierung_der_Quantenmechanik" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Formulierung_der_Quantenmechanik</a> <br /> <br />Vielleicht wäre die Frage nach einem geeigneten Lehrbuch erfolgreicher.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Troika</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jul 2025 11:33<span class="gen"> </span> Titel: Operator, Vektor und Eigenwert</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Was genau repräsentieren der Operator, der Vektor & der Eigenwert i.d. Quantenmechanik? <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Oft liest man Operator = physikalische Größe, Vektor = Zustand des Systems, Eigenwert = Messwert. <br />Aber ich denke "d/dt" ist ebenfalls ein Operator, deshalb meine ich: <br />Operator = Vorschrift, Struktur; Vektor = physik. Größe, Eigenwert = Element des Spektrums</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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