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[quote="Corbi"]Majorana und Dirac-Darstellung sowie allgemeine Form einer unitären Matrix einsetzen und das LGS für die Komponenten von U lösen würde ich vorschlagen.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 11:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">👍 <br /> <br />So ist das.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 11:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ah verstehe. Was mich zunächst verwundert hat ist, dass die Darstellung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(a_i) = a_0 \, 1 + i \, a_i \, \sigma_i "> <br /> <br />ja bedeuten würde, dass SU(2) ein Vektorraum wäre, was nicht der Fall ist. <br />Das wird aber durch die zusätzlich Einschränkung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0^2+a_i^2=1"> <br /> <br />wieder aufgelöst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 11:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für SU(N) gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(\theta_i) = \exp[i \, \theta_i \, \lambda_i], \qquad i = 1 \ldots N^2-1"> <br /> <br />für beliebige reelle Koeffizienten theta_i. <br /> <br /> <br />Außerdem gilt sicher <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(a_i) = a_0 \, 1 + a_i \, \lambda_i"> <br /> <br />für <span style="font-style: italic">geeignete</span> reelle Koeffizienten a_i. <br /> <br />M.W.n. gilt dabei auch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0^2 + a_i^2 = 1"> <br /> <br />wobei der Beweis für N > 2 wegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lambda_i \, \lambda_k = \frac{N}{2} \delta_{ik} + i \, f_{ikl}\, \lambda_l + d_{ikl} \lambda_l"> <br /> <br />komplizierter wird, denn nur für N = 2 gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d_{ikl} = 0"> <br /> <br /> <br />Was für N > 2 <span style="font-style: italic">nicht</span> funktioniert ist die einfache Beziehung zwischen theta_i und a_i.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 11:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das gilt doch nur für die Elemente der Lie-Algebra von SU(2) aber nicht für die Elemente von SU(2) selbst.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Doch, speziell für die SU(2) gilt das. <br /> <br /> <br />Zunächst zeigt man für ein beliebiges Element der Fundamentaldarstellung * <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(n, \theta) = \exp[i\theta n_i \sigma_i] = \cos\theta \, 1 + i \, n_i \, \sigma_i \, \sin\theta"> <br /> <br />mittels Taylorentwicklung und Eigenschaften ** der Pauli-Matrizen, wobei n ein Einheitsvektor und theta ein beliebiger Winkel ist. <br /> <br />Dann identifiziert man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0 = \cos\theta"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_i = n_i \, \sin\theta"> <br /> <br />und berechnet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_0^2 + a_i^2 = \cos^2\theta + n_i^2 \, \sin^2\theta = 1 "> <br /> <br />Also ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(n_i, \theta) = U(a_i)"> <br /> <br /> <br />* implizite Summe über doppelte Indizes <br /> <br />** die nur für die SU(2) gelten, nicht für Generatoren der SU(N) mit N > 2; das wäre zu schön</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 10:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Jede SU(2)-Transformation kann dargestellt werden als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(a_i) = a_0 \, 1 + i \, a_i \, \sigma_i "> <br /> <br />wobei 1 für die Einheitsmatrix steht...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das gilt doch nur für die Elemente der Lie-Algebra von SU(2) aber nicht für die Elemente von SU(2) selbst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 08:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Schau dir das erst mal für Darstellungen der Pauli-Matrizen an. <br /> <br />Jede SU(2)-Transformation kann dargestellt werden als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U(a_i) = a_0 \, 1 + i \, a_i \, \sigma_i "> <br /> <br />wobei 1 für die Einheitsmatrix steht, und die reellen Koeffizienten außerdem die Bedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(a_0)^2 + (a_i)^2 = 1"> <br /> <br />erfüllen müssen. <br /> <br />Diese Darstellung verteilt die Koeffizienten "geschickt" auf die 4 Matrixelemente. <br /> <br />Genauso konstruiert man die SU(4), wobei man sich diese als 2*2 Matrix denkt, deren Einträge jeweils 2*2 Matrizen sind, die aus 0, 1 und Pauli-Matrizen ggf. mit Vorzeichen bestehen. Weitere numerische Faktoren sind meiner Erinnerung nach nicht notwendig.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>solver111</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 07:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Habt ihr einen Tipp für einen Ansatz, nehme ich eine bestimmte Majorana/ Dirac Darstellung gamma^0 oder wie gehe ich am besten vor?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jan 2025 22:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Majorana und Dirac-Darstellung sowie allgemeine Form einer unitären Matrix einsetzen und das LGS für die Komponenten von U lösen würde ich vorschlagen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jan 2025 19:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Meist sind das Blockmatrizen, mit der Einheitsmatrix im Block und irgendwelchen Paulimatrizen. Einfach mal ausprobieren und gucken was passiert. Man lernt hier guten Umgang mit Paulimatrizen und ihren Eigenschaften.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>solver111</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jan 2025 14:36<span class="gen"> </span> Titel: Unitäre Transformationsmatrix</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Gesucht ist eine unitäre Transformation zwischen Majorana und Dirac-Darstellung der <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \gamma ">-Matrizen gemäß: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \gamma_{M}^{\mu}=U\gamma^{\mu}U^{-1} "> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Idee. Vielleicht einfach Matrizen einsetzen in Dirac und Majorana-Darstellung</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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