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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts: Latex-Kurzbeschreibung | Formeleditor

[quote="Myon"]Ja, die Zwangsbedingung ist richtig, soweit auch die Lagrange-Gleichungen 1. Art in kartesischen Koordinaten. 
Schreibt man die Zwangsbedingung in der Form

[latex]g(x,y,t)=r^2-x^2-y^2=0[/latex]

und dann wie Du

[latex]\frac{\dd }{\dd t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=\lambda\frac{\partial g}{\partial x}[/latex]

und analog y, ergäben sich allerdings Minuszeichen:

[latex]m\ddot{x}=-2\lambda x, \quad m\ddot{y}=-2\lambda y[/latex]

Zu b): Um die Bewegungsgleichungen zu erhalten, muss nach lambda aufgelöst werden. Ein Weg dazu ist folgender: bilde die zweifache Ableitung

[latex]\frac{\dd^2}{\dd t^2}g(x,y,t)=\ldots[/latex]

Für die darin auftretenden [latex]\ddot{x}, \ddot{y}[/latex] setze wieder die Lagrange-Gleichungen 1. Art ein.

Zu c): Polarkoordinaten verwenden. Aus der Zwangsbedingung folgt sofort die Lösung für die rho-Koordinate:

[latex]\rho(t)=Re^{at}[/latex]

Für phi sollte sich eine Differentialgleichung wie

[latex]\ddot{\phi}=-2a\dot{\phi}[/latex]

ergeben. Diese lässt sich für die gegebenen Anfangsbedingungen einfach lösen.
Aus der Lösung (rho(t), phi(t)) ergibt sich lambda(t) und damit auch die Zwangskraft:

[latex]\vec{Z}(t)=\lambda(t)\frac{\partial g}{\partial \rho}\,\vec{e}_\rho[/latex]

Zu d): Hier verstehe ich nicht genau, was verlangt ist. Eine äussere Kraft wäre abhängig von den Geschwindigkeiten und somit von den Anfangsbedingungen.

Noch eine Bemerkung: Der Aufgabentext "Eine Perle gleitet reibungsfrei auf einer Spirale (...)" suggeriert, dass die Perle auf einer festen Führung gleiten würde und nur Kräfte normal zur Bewegungsgleichung wirken. Das ist hier aber nicht der Fall. Die Führung hätte eine zeitlich wariable Form. Aus der Zwangsbedingung folgt, dass die Zwangskraft immer in radialer Richtung wirkt, sie ist also i.a. nicht normal zur Bewegungsrichtung (das wäre nur der Fall für r(t)=const). 
Man stellt sich hier m.E. besser vor, die Perle wäre mit einem Faden zum Ursprung verbunden, dessen Länge r(t) zeitlich  variert wird.
Da die Zwangskraft nicht normal zur Geschwindigkeit steht, leistet sie Arbeit. Die Energie bleibt somit nicht konstant. Dies liegt daran, dass die Zwangsbedingung explizit zeitabhängig (rheonom) ist.[/quote]

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