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[quote="Myon"]@TomS: Ich hab momentan einfach ein einziges grosses Blackout. Ich komm zwar auch auf das Potential: [quote="TomS"][latex]\Phi(z) = 2\pi\,G\sigma \int_R^\infty \frac{dr^\prime\,r^\prime}{\sqrt{{r^\prime}^2 + z^2}}[/latex] Man kann das Integral analytisch lösen, oder man entwickelt in z/R. [/quote] Aber wie kann das Integral konvergieren, der Integrand geht ja gegen 1 für grosse r'?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jun 2017 17:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">ich verstehe das Beispiel so, das ich eine massebehaftete Ebene habe. die eben ein Loch ausgestanzt hat und komme da auf eine Gravitationskraft auf den Massepunkt in z von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?FG_{z}=G*\mu*m*2*\pi* z \int^{unendlich}_{R} \frac {r}{(r²+z²)^\frac {3}{2}} *dr "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?FG_{z}=\frac {G*\mu*m*2*\pi*z}{\sqrt {R²+z²}} "> <br /> <br /> <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />für sin gamma habe ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \sqrt {r²+z²}*sin \gamma=z"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? sin \gamma=\frac {z}{\sqrt {r²+z²}}"> <br /> <br />Für die Gravitationskraft zwischen Massepunkt m und einen Flächenmassepunkt habe ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ddFG=\frac {G*\mu*dA*m}{r²+z²}=\frac {G*\mu*r*d\varphi*dr*m}{r²+z²}"> <br /> <br />und für die z Komponente <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ddFGz=ddFG*\frac {z}{\sqrt {r²+z²}} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ddFGz=\frac {G*\mu*r*d\varphi*dr*m*z}{(r²+z²)^\frac {3}{2}}"> <br /> <br />Für die Gravitationskraft Komponente in z zwischen einen Massepunkt m und einem Kreisring auf Radius r habe ich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?FGz_{Kreisring}=dFG_{z}=\frac {G*\mu*2*\pi*r*dr*m*z}{(r²+z²)^\frac {3}{2}} "> <br /> <br />den Rest siehe oben</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jun 2017 22:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ah, danke, jetzt wird mir klarer. Man muss vor dem Grenzübergang bis zur zweiten Ableitung entwickeln. Weshalb nach der Entwicklung das Integral konvergiert im Gegensatz zum exakten Integral, verstehe ich zwar nicht, aber immerhin kommt man so weiter. <br /> <br />Wenn man ähnlich wie der Threadersteller mit der z-Komponente eines infinitesimalen Kraftelements <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dF_z=\frac{z}{\sqrt{r'^2+z^2}}\cdot \frac{Gm\sigma}{r'^2+z^2}dA\approx \frac{zGm\sigma}{r'^3}dA"> <br /> <br />rechnet, führt das zum gleichen Resultat. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(z)=2\pi Gm\sigma\int_R^\infty\frac{z}{r'^3}r'\,dr'"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jun 2017 15:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du hast das Problem bereits mit der Masse der unendlichen Platte. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \int_{\mathbb{R}^3} d^3r\,\rho(r) = \sigma \, \int_{\mathbb{R}^2} d^2r = \ldots"> <br /> <br />Es gibt m.E. mehrere Möglichkeiten. <br /> <br />Die erste Idee wäre die Taylorentwicklung in z/r <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{r}{\sqrt{r^2 + z^2}} \stackrel{z/r\to 0}{\sim} 1 - \frac{1}{2}\frac{z^2}{r^2} + \frac{3}{8}\frac{z^4}{r^4} + \ldots"> <br /> <br />(bzw. die Laurent-Entwicklung für große r/z). <br /> <br />Konstante Terme in z fallen bei Ableitung weg, d.h. Divergenzen aus diesen Termen sind irrelevant. <br /> <br />Die zweite wäre die direkte Integration und anschließende Näherung für kleine z/r. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_R^L dr \frac{dr\,r}{\sqrt{r^2 + z^2}} = \left.\sqrt{r^2 + z^2}\right|_R^L "> <br /> <br />In beiden Fällen wirst du zuerst die Ableitung nach z bilden und erst anschließend den Grenzübergang L gegen Unendlich durchführen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jun 2017 10:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TomS: Ich hab momentan einfach ein einziges grosses Blackout. Ich komm zwar auch auf das Potential: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(z) = 2\pi\,G\sigma \int_R^\infty \frac{dr^\prime\,r^\prime}{\sqrt{{r^\prime}^2 + z^2}}"> <br /> <br />Man kann das Integral analytisch lösen, oder man entwickelt in z/R. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aber wie kann das Integral konvergieren, der Integrand geht ja gegen 1 für grosse r'?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jun 2017 07:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich sehe nicht, wie ihr auf das Integral kommt. <br /> <br />Ich setze <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(\vec{r}) = G\sigma \int_\text{Ebene - Loch} d^3r^\prime \frac{\delta(z^\prime)}{|\vec{r}^\prime - \vec{r}|}"> <br /> <br />Man verwendet Zylinderkoordaten, führt die z'-Integration aus und setzt x = y = 0. Das liefert einen Integranden abhängig von r'² sowie ohne Winkelabhängigkeit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi(z) = 2\pi\,G\sigma \int_R^\infty \frac{dr^\prime\,r^\prime}{\sqrt{{r^\prime}^2 + z^2}}"> <br /> <br />Man kann das Integral analytisch lösen, oder man entwickelt in z/R. <br /> <br />Zuletzt berechnet man die z-Komponente der Kraft über <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-\partial_z\,\Phi(z)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jun 2017 22:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Willkommen im Forum! <br /> <br />Ich hab's jetzt nicht sehr lange angeschaut, aber ich denke, die z-Komponente der Gravitationskraft stimmt nicht. Wieso nicht einfach dF_z=dF*z/r (mit dem Cosinus drin wäre die Komponente ja gross für z=0)? Dann konvergiert auch das Integral und es resultiert eine Kraft, die proportional zu z ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>SchmeckiT1</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jun 2017 19:16<span class="gen"> </span> Titel: Schwingung eines Massepunktes in Ebene mit Loch</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo zusammen,<br />folgende aufgabe:<br /><br />Aus einer unendlich ausgedehnter Ebene mit konstanter Flächenmassendichte sigma werde ein Loch mit Radius R ausgestanzt. In der Mitte dieses Loches befinde sich nun ein Massepunkt der Masse m. Nun lenke man diesen Massepunkt in vertikaler Richtung aus und lasse ihn schwingen (Die einzige Kraft die auf das teilchen wirkt sei die Gravitationskraft, die von der ebene ausgeht). Berechnen sie die Frequenz kleiner Schwingungen (kleine Auslenkung im Verleich zu R) der Masse um den Mittelpunkt des Kreises<br /><br />Hinweis: Stellen sie zunächst den Beitrag eines kleinen Massenelements der ebene zur Gravitationskraft auf. Summieren (Integrieren) sie diese beiträge zur Gesamtkraft und stellen sie Damit die schwingungsgleichung auf.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich habe mir zunächst überlegt, dass sich die Kraftbeiträge, die nicht in z-Richtung sind immer gegenüberliegend aufheben, weshalb nur eine Betrachtung der z-Komponente der Kraft notwendig ist.<br /><br />z sei die Auslenkung des Teilchens<br /><br />Der Winkel zwischen Ebene und Verbindungslinie von Teilchen alpha ergibt sich durch kleinwinkelnäherung aus z/r.<br /><br />somit ergibt sich die z-Komponente der Gravitationskraft aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? dFy=dF*cos(z/r) "><br /><br />Für ein infinitesimales Masseteilchen der Ebene, welches sich im Abstand r vom Mittelpunkt des Lochs befindet ergibt sich dann die Formel<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? dF_{y} =(-G*m*\mu *dA)/(r²+z²)*cos(z/r)\approx (-Gm*\mu *dA)/(r²)*cos(z/r) "><br /><br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \mu "> die Flächenmassendichte und G die Gravitationskonstante ist (z<<r liefert die Vereinfachung).<br /><br />Integrieren und einsetzen von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dA=r*dr*d\varphi"> liefert dann:<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{y}=2\pi G m \mu \int_R^\infty \! cos(\frac{z}{r})* \frac{1}{r} \, \dd r "><br /><br />Allerdings konvergiert dieses Integral nicht. Hat jemand eine Idee wie man dieses Integral lösen könnte?<br /><br />Vielen Dank und Liebe Grüße</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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