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[quote="Tintenfisch"]Hallo

Eine Ellipse ist durch die Gleichung [latex]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1[/latex] gegeben. Hier wird also nur die x - y - Achse betrachtet. Hier ist z = 0.

Eine mögliche Parameterdarstellung dieser Ellipse ist auch gegeben:

[latex]\vec{l}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a * cos(t) \\ b * sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} [/latex]

wobei [latex]0 \leq  t \leq 2 \pi[/latex]

Der Flächennormalvektor der Ellipse zeigt in z - Richtung, steht also senkrecht zur x - y - Ebene, und deshalb ist die Fläche A der Ellipse gleich dem Fluss des konstanten Vektorfelds [latex]\vec{e_z} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex] durch die Ellipse, also [latex]A = \int_S^. \! \vec{e_z}  \, \dd \vec{A}  [/latex]

_____________________________________________________________

Nun soll ich zuerst ein Vektorfeld [latex]\vec{F}(\vec{r}) [/latex] finden, so dass [latex]\vec{\nabla} X \vec{F} = \vec{e_z} [/latex]

Wenn ich das Kreuzprodukt ausschreibe, bekomme ich ja folgendes:

[latex]\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x}  \\ \frac{\partial }{\partial y}  \\ \frac{\partial }{\partial z}  \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 
[/latex]

[latex]\begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial y} z - \frac{\partial }{\partial z} y    \\ \frac{\partial }{\partial z} x - \frac{\partial }{\partial x} z \\ \frac{\partial }{\partial x} y - \frac{\partial }{\partial y} x   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex]

Das verstehe ich aber jetzt nicht ganz. Demnach können bei meinem Vektorfeld x und y = 0 sein? Und z könnte z.B. was sein?

Bei b) soll ich die Fläche A der Ellipse ausrechnen, indem ich das Flächenintegral mithilfe des Stokes'Schen Satzes auf ein Linienintegral über mein in a) berechnetes Vektorfeld zurückführe.

Das weiß ich leider gar nicht, wie ich da beginnen soll.

Bedanke mich sehr für Eure Hilfe

Schöne Grüße[/quote]

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